Ghi nhớ bài học |

Con lắc đơn

CON LẮC ĐƠN

Chủ đề này gồm có các vấn đề sau: Cấu tạo và hoạt động của con lắc đơn, phương trình dao động, chu kì và tần số, năng lượng, công thức của con lắc đơn

A. LÍ THUYẾT

1. Cấu tạo và hoạt động của con lắc đơn.

– Cấu tạo: Con lắc đơn gồm một vật nhỏ, khối lượng m, treo ở đầu một sợi dây mềm không dãn, khối lượng không đáng kể, dài l.

Trong hệ quy chiếu quán tính, vị trí cân bằng của con lắc đơn là vị trí dây treo có phương thẳng đứng, vật nặng ở vị trí thấp nhất.

– Hoạt động: Ban đầu, vật đứng yên. Khi được kích thích thì vật m dao động quanh VTCB.

– Điều kiện xét dao động điều hoà: bỏ qua ma sát và con lắc biên độ nhỏ({{\alpha }_{0}}\le {{10}^{0}})

2. Chu kì và tần số:

\omega =\sqrt{{\frac{g}{l}}};f=\frac{1}{{2\pi }}\sqrt{{\frac{g}{l}}};T=2\pi \sqrt{{\frac{l}{g}}}

 Đặc điểm: 

– Khi con lắc đơn dao động tại một nơi cố định (có l và g không đổi), đối với các dao động nhỏ ({{\alpha }_{0}}\le {{10}^{0}}) thì chu kỳ dao động của con lắc đơn T = const. 

– Không phụ thuộc m, cách kích thích, chỉ phụ thuộc vào chiều dài, gia tốc rơi tự do(vị trí, độ cao). 

– Tỉ lệ với \sqrt{l}, tỉ lệ nghịch với \sqrt{g} lúc đó dao động của con lắc đơn cũng được coi là dao động tự do.

3. Phương trình dao động

– Phương trình li độ dài:

+ Phương trình dao động theo cung: s={{S}_{0}}\cos (\omega t+\varphi )

Phương trình dao động theo góc: \alpha ={{\alpha }_{0}}\cos (\omega t+\varphi )

với s=\alpha l,{{S}_{0}}={{\alpha }_{0}}l

Trong đó: s: li độ dài dao động (cm, m..); S: biên độ dài (cm, m..)

               \alpha : li độ góc (rad); {{\alpha }_{0}}: biên độ góc (rad)

              \omega =\sqrt{{\frac{g}{\ell }}} (rad/s)

          ( g là gia tốc trọng trường (m/s2) và ℓ là chiều dài dây treo (m))

– Phương trình vận tốc

  v={{s}^{'}}=-\omega {{S}_{0}}\sin (\omega t+\varphi )=-\omega l{{\alpha }_{0}}\sin (\omega t+\varphi ) 

=>{{v}_{{\max }}}=\pm \omega {{S}_{0}} (Khi ở vị trí cân bằng)  

– Gia tốc : Vì vật chuyển động trên một cung tròn nên gia tốc của vật gồm 2 thành phần là gia tốc hướng tâm và gia tốc tiếp tuyến

a=\sqrt{{a_{t}^{2}+a_{n}^{2}}}=>\left\{ \begin{array}{l}{{a}_{t}}=s''\\{{a}_{n}}=\frac{{{{v}^{2}}}}{R}\end{array} \right.

Phương trình gia tốc tiếp tuyến

  a=v'=-{{\omega }^{2}}{{S}_{0}}\cos (\omega t+\varphi )=-{{\omega }^{2}}l{{\alpha }_{0}}\cos (\omega t+\varphi )=-{{\omega }^{2}}s=-{{\omega }^{2}}\alpha l =>{{a}_{{\max }}}=\pm {{\omega }^{2}}s(Khi vật ở hai biên)

4. Các đại lượng khác của dao động con lắc đơn biên độ nhỏ

Các đại lượng

Biên độ lớn

Biên độ nhỏ

Thế năng

\displaystyle {{\text{W}}_{t}}=mgh=mgl(1-\cos \alpha )

{{\text{W}}_{t}}=\frac{1}{2}mgl.{{\alpha }^{2}}

Cơ năng

\displaystyle \text{W}=mgl(1-\cos {{\alpha }_{0}})

\text{W}={{\text{W}}_{{t\max }}}=\frac{1}{2}mgl.\alpha _{0}^{2}

Vận tốc tại một

 

vị trí

v=\pm \sqrt{{2gl\left( {c\text{os}\alpha -c\text{os}{{\alpha }_{0}}} \right)}}

{{x}^{2}}+\frac{{{{v}^{2}}}}{{{{\omega }^{2}}}}={{A}^{2}}<=>{{\alpha }^{2}}.{{l}^{2}}+\frac{{{{v}^{2}}}}{{{{\omega }^{2}}}}=\alpha _{0}^{2}.{{l}^{2}}

{{v}_{\alpha }}=\pm \omega \sqrt{{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}}=\pm \sqrt{{g.l(\alpha _{0}^{2}-{{\alpha }^{2}})}}

{{v}_{{cb}}}=\pm \omega A=\pm {{\alpha }_{0}}\sqrt{{g.l}}

Gia tốc

 \overrightarrow{a}=\,\overrightarrow{{{{a}_{t}}}}+\overrightarrow{{{{a}_{{ht}}}}}\,\Rightarrow \,a=\sqrt{{a_{t}^{2}+a_{{ht}}^{2}}}

{{a}_{t}}={{\omega }^{2}}.x=g.\alpha

{{a}_{{ht}}}=\frac{{{{v}^{2}}}}{l}

Sức căng của dây

T=mg(3\cos \alpha -2\cos {{\alpha }_{0}})

+ Giá trị cực đại:

\alpha =0<=>{{T}_{{\max }}}=mg(3-2\cos {{\alpha }_{0}})=mg(1+\alpha _{0}^{2}) a =

+ Giá trị cực tiểu:

{{\alpha }_{0}}=0<=>T=mg\cos \alpha <=>T=mg(1-\frac{{\alpha _{0}^{2}}}{2})

B. BÀI TẬP

DẠNG 1: CHU KÌ VÀ TẦN SỐ

1. Chu kì con lắc đơn khi có sự thay đổi các đại lượng

a. Công thức

\displaystyle \omega =\sqrt{{\frac{g}{l}}}; \displaystyle f=\frac{1}{{2\pi }}\sqrt{{\frac{g}{l}}}; \displaystyle T=2\pi \sqrt{{\frac{l}{g}}}

+ Thay đổi do độ cao: \displaystyle g=G\frac{M}{{{{{(R+h)}}^{2}}}}

+ Thay đổi g do hành tinh: \displaystyle g=G\frac{M}{{{{R}^{2}}}}.

+ Thay đổi g do ngoại lực:.\displaystyle \overrightarrow{g}'=\overrightarrow{g}+\overrightarrow{{\frac{F}{m}}}

* Lực acsimet:Công thứcF={{D}_{{long}}}.Vg .

Phương chiều hướng lên

* Lực tĩnh điện: Công thức\displaystyle \overrightarrow{F}=q.\overrightarrow{E} ;.

Phương chiều q>0 thì F cùng chiều với E ; q<0 thì F ngược chiều với E

* Lực quán tính:Công thức \displaystyle \overrightarrow{F}=-m.\overrightarrow{a}; .

          Phương chiều \overrightarrow{F} ngược chiều với a

+ Thay đổi chiều dài do nhiệt độ: {{l}_{t}}={{l}_{0}}(1+\alpha \Delta t)

b. Kĩ năng

  • tỉ số: \displaystyle \frac{{T'}}{T}=\sqrt{{\frac{g}{{g'}}}} ; Tỉ lệ: \displaystyle \frac{{T'}}{T}=\sqrt{{\frac{{l'}}{l}}}
  • Chuyển đổi quan hệ:

    l=x{{l}_{1}}\pm y{{l}_{2}}\xrightarrow{{T=2\pi \sqrt{{\frac{l}{g}}}}}{{T}^{2}}=xT_{1}^{2}\pm yT_{2}^{2}\xrightarrow{{f=\frac{1}{{2\pi }}\sqrt{{\frac{g}{l}}}}}\frac{1}{{{{f}^{2}}}}=x\frac{1}{{f_{1}^{2}}}\pm y\frac{1}{{f_{2}^{2}}}

  • Chuyển đổi quan hệ:

    g=x{{g}_{1}}\pm y{{g}_{2}}\xrightarrow{{T=2\pi \sqrt{{\frac{l}{g}}}}}\frac{1}{{{{T}^{2}}}}=x\frac{1}{{T_{1}^{2}}}\pm y\frac{1}{{T_{2}^{2}}}\xrightarrow{{f=\frac{1}{{2\pi }}\sqrt{{\frac{g}{l}}}}}{{f}^{2}}=xf_{1}^{2}\pm yf_{2}^{2}

-  Thay đổi nhỏ:

+ Thay đổi chiều dài \displaystyle \frac{{\Delta T}}{T}=\frac{1}{2}\frac{{\Delta l}}{l}=\frac{1}{2}\alpha \Delta t (nhiệt độ)

+ Thay đổi gia tốc: \displaystyle \frac{{\Delta T}}{T}=-\frac{{\Delta g}}{{2g}}=\frac{h}{R} (độ cao) = \displaystyle \frac{h}{{2R}} (Độ sâu )

+ Thay đổi gia tốc và chiều dài: \displaystyle  \displaystyle \frac{{\Delta T}}{T}=\frac{1}{2}\frac{{\Delta l}}{l}=-\frac{1}{2}.\frac{{\Delta g}}{g}

¨ Sự nhanh chậm của đồng hồ: Chu kì tăng đồng hồ chạy chậm

Sự nhanh chậm trong một ngày đêm: \displaystyle \tau =\frac{{\Delta T}}{T}.86400(s)

 

2. Đo chu kỳ bằng phương pháp trùng phùng

– Gọi {{T}_{1}} là chu kì con lắc (1) ; {{T}_{2}} là chu kì con lắc (2)

{{N}_{1}} và {{N}_{2}} là số dao động thực hiện được

=> T={{N}_{1}}.{{T}_{1}}={{N}_{2}}.{{T}_{2}}(\frac{{{{T}_{1}}}}{{{{T}_{2}}}}=\frac{{{{N}_{2}}}}{{{{N}_{1}}}})

 

3. Con lắc vướng đinh

+ Khi bị vướng đinh thì con lắc lên tới điểm A’ ngang với A

+ Gọi T, T’ lần lượt là chu kì của con lắc tương ứng với chiều dài ban đầu l và chiều dài sau khi vướng đinh là l’

Ta có: \frac{{T'}}{T}=\sqrt{{\frac{{l'}}{l}}}

Chu kì mới của con lắc là {{T}_{0}}=\frac{{T+{{T}^{'}}}}{2}

4. Liên hệ giữa góc lệch của dây treo so với g’

+ Nếu con lắc chịu một lực tác dụng theo phương ngang mà tại vị trí cân bằng hợp với phương thẳng đứng góc \beta  thì: {{g}^{'}}=\frac{g}{{\cos \beta }}

+ Nếu con lắc treo trên một chiếc xe chuyển động không ma sát trên một dốc nghiêng \beta  thì tại vị trí cân bằng dây treo hợp với phương thẳng đứng góc{{\beta }^{'}}=\beta  {{g}^{'}}=g.\cos \beta

 

DẠNG 2: CÁC ĐẠI LƯỢNG CỦA CON LẮC ĐƠN

1/ Sự tương tự

Sự tương tự của dao động của con lắc lò xo và con lắc đơn:

Con lắc lò xo

Con lắc đơn

x

S(\alpha .l)

A

{{S}_{0}}({{\alpha }_{0}}.l)

k

\frac{{mg}}{l}

2. Các công thức của con lắc đơn

Con lắc đơn biên độ lớn và biên độ nhỏ

Các đại lượng

Biên độ lớn

Biên độ nhỏ

Thế năng

\displaystyle {{\text{W}}_{t}}=mgh=mgl(1-\cos \alpha )

{{\text{W}}_{t}}=\frac{1}{2}mgl.{{\alpha }^{2}}

Cơ năng

\displaystyle \text{W}=mgl(1-\cos {{\alpha }_{0}})

\text{W}={{\text{W}}_{{t\max }}}=\frac{1}{2}mgl.\alpha _{0}^{2}

Vận tốc tại một

 

vị trí

v=\pm \sqrt{{2gl\left( {c\text{os}\alpha -c\text{os}{{\alpha }_{0}}} \right)}}

{{x}^{2}}+\frac{{{{v}^{2}}}}{{{{\omega }^{2}}}}={{A}^{2}}<=>{{\alpha }^{2}}.{{l}^{2}}+\frac{{{{v}^{2}}}}{{{{\omega }^{2}}}}=\alpha _{0}^{2}.{{l}^{2}}

{{v}_{\alpha }}=\pm \omega \sqrt{{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}}=\pm \sqrt{{g.l(\alpha _{0}^{2}-{{\alpha }^{2}})}}

{{v}_{{cb}}}=\pm \omega A=\pm {{\alpha }_{0}}\sqrt{{g.l}}

Gia tốc

\overrightarrow{a}=\,\overrightarrow{{{{a}_{t}}}}+\overrightarrow{{{{a}_{{ht}}}}}\,\Rightarrow \,a=\sqrt{{a_{t}^{2}+a_{{ht}}^{2}}}

Với: {{a}_{t}}={{\omega }^{2}}.x=g.\alpha

{{a}_{{ht}}}=\frac{{{{v}^{2}}}}{l}

Sức căng của dây

T=mg(3\cos \alpha -2\cos {{\alpha }_{0}})

+ Giá trị cực đại:

\alpha =0<=>{{T}_{{\max }}}=mg(3-2\cos {{\alpha }_{0}})=mg(1+\alpha _{0}^{2}) a =

+ Giá trị cực tiểu:

{{\alpha }_{0}}=0<=>T=mg\cos \alpha <=>T=mg(1-\frac{{\alpha _{0}^{2}}}{2})

– Chú ý: Khi đọc bài toán phải chú ý con lắc đơn đó dao động điều hòa (góc nhỏ) hay góc lớn + Nếu trong bài toán vật còn chịu tác dụng của lực lạ thì g = g’; vị trí cân bằng có thể thay đổi

 

Ví dụ 1 (Chu kỳ con lắc đơn): Ở cùng một nơi trên Trái Đất, con lắc đơn có chiều dài ℓ1 dao động với chu kì {{T}_{1}}=2s, chiều dài ℓ2 dao động với chu kì {{T}_{2}}=1,5s. Tính chu kì dao động của con lắc đơn có chiều dài ({{l}_{1}}+{{l}_{2}}) và con lắc đơn có chiều dài ({{l}_{1}}-{{l}_{2}}).

Hướng dẫn

– Chu kì dao động của con lắc đơn khi có chiều dài ({{l}_{1}}+{{l}_{2}}) là:

    {{T}^{2}}=T_{1}^{2}+T_{2}^{2}\Rightarrow T=\sqrt{{T_{1}^{2}+T_{2}^{2}}}=\sqrt{{{{2}^{2}}+1,{{5}^{2}}}}=2,5\left( s \right)

– Chu kì dao động của con lắc đơn khi có chiều dài ({{l}_{1}}-{{l}_{2}})là:

    {{T}^{2}}=T_{1}^{2}-T_{2}^{2}\Rightarrow T=\sqrt{{T_{1}^{2}-T_{2}^{2}}}=\sqrt{{{{2}^{2}}-1,{{5}^{2}}}}=1,32\left( s \right)

Ví dụ 2 (Chu kỳ con lắc đơn): Trong cùng một khoảng thời gian và ở cùng một nơi trên Trái Đất một con lắc đơn thực hiện được 60 dao động. Tăng chiều dài của nó thêm 44 cm thì trong khoảng thời gian đó, con lắc thực hiện được 50 dao động. Tính chiều dài và chu kì dao động ban đầu của con lắc. Lấy g=10={{\pi }^{2}}(m/{{s}^{2}})

Hướng dẫn

– Chu kì lúc đầu: {{T}_{1}}=\frac{{\Delta {{t}_{1}}}}{{{{n}_{1}}}}\Rightarrow \Delta {{t}_{1}}={{n}_{1}}{{T}_{1}}

– Chu kì sau khi tăng chiều dài: {{T}_{2}}=\frac{{\Delta {{t}_{2}}}}{{{{n}_{2}}}}\Rightarrow \Delta {{t}_{2}}={{n}_{2}}{{T}_{2}}

Theo đề bài, ta có: \Delta {{t}_{1}}=\Delta {{t}_{2}}

\Rightarrow {{n}_{1}}{{T}_{1}}={{n}_{2}}{{T}_{2}}\Leftrightarrow {{n}_{1}}2\pi \sqrt{{\frac{{{{\ell }_{1}}}}{g}}}={{n}_{2}}2\pi \sqrt{{\frac{{{{\ell }_{2}}}}{g}}}\Leftrightarrow n_{1}^{2}{{\ell }_{1}}=n_{2}^{2}{{\ell }_{2}}

mà: {{\ell }_{2}}={{\ell }_{1}}+44

nên: n_{1}^{2}{{\ell }_{1}}=n_{2}^{2}\left( {{{\ell }_{1}}+44} \right)\Rightarrow {{\ell }_{1}}=\frac{{44n_{2}^{2}}}{{n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}}=\frac{{{{{44.50}}^{2}}}}{{{{{60}}^{2}}-{{{50}}^{2}}}}=100\left( {cm} \right)=1\left( m \right)

– Chu kì lúc đầu: {{T}_{1}}=2\pi \sqrt{{\frac{{{{\ell }_{1}}}}{g}}}=2\pi \sqrt{{\frac{1}{{10}}}}=2\pi \sqrt{{\frac{1}{{{{\pi }^{2}}}}}}=2\left( s \right)

Ví dụ 3 (sự nhanh chậm của đồng hồ): Một con lắc đồng hồ có thể coi là con lắc đơn. Đồng hồ chạy đúng ở mực ngang mặt nước biển. Khi đưa đồng hồ lên đỉnh núi cao 4000 m thì đồng hồ chạy nhanh hay chậm mỗi ngày đêm là bao nhiêu ? Biết bán kính Trái Đất là R = 6400 km. Coi nhiệt độ là không đổi.

Hướng dẫn

\displaystyle \frac{{\Delta T}}{T}=-\frac{{\Delta g}}{{2g}}=\frac{h}{R}

Thời gian chạy chậm mỗi ngày đêm là:

    \tau =\left| {\frac{{\Delta T}}{{{{T}_{1}}}}} \right|86400=\frac{4}{{6400}}.86400=54\left( s \right)

Ví dụ 4: (Con lắc đơn trong trường lực lạ)

    Một con lắc đơn có chiều dài dây treo l=50cm và vật nhỏ có khối lượngm=0,01kg mang điện tích q={{5.10}^{{-6}}}C, được coi là điện tích điểm. Con lắc dao động điều hòa trong điện trường đều mà vector cường độ điện trường có độ lớn E={{10}^{4}}V/m và hướng thẳng đứng xuống dưới. Lấy g=10m/{{s}^{2}};\pi =3,14 g = 10 (m/s2), π = 3,14. Tính chu kỳ dao động điều hòa của con lắc.

Hướng dẫn

Do \left\{ \begin{array}{l}\vec{E}\downarrow \\q>0\end{array} \right. à \vec{F}\downarrow

Do đó P'=P+F<=>mg'=mg+\left| q \right|E<=>g'=g+\frac{{\left| q \right|E}}{m}

Thay số ta được :

{{g}^{'}}=15m/{{s}^{2}}

Ví dụ 5 (Con lắc trùng phùng): Hai con lắc đơn dao động với chu kì {{T}_{1}}=6,4s và {{T}_{2}}=4,8\text{s}. Khoảng thời gian giữa hai lần chúng cùng đi qua các vị trí cân bằng và chuyển động về cùng 1 phía ( trùng phùng) liên tiếp là

A. 11,2s                     B. 5,6s                       C. 30,72s                              D. 19,2s

Hướng dẫn

Khoảng thời gian giữa hai lần trùng phùng liên tiếp :

t=\frac{{{{T}_{1}}{{T}_{2}}}}{{\left| {{{T}_{1}}-{{T}_{2}}} \right|}}=\frac{{6,4.4,8}}{{6,4-4,8}}=19,2s

Ví dụ 6 (Con lắc vướng đinh): Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì dao động T. Nếu tại điểm A là trung điểm của đoạn OB người ta đóng một cái đinh để chặn một bên của dây thì chu kì dao động T' mới của con lắc là

A. T'=T

B. T'=T(\frac{{\sqrt{2}+1}}{{2\sqrt{2}}})

CT'=\frac{T}{{\sqrt{2}}}

D. T'=\frac{T}{2}

Hướng dẫn

Khi con lắc bị chặn một bên, trong một chu kì, con lắc sẽ trải qua 4 giai đoạn trong đó:

2 giai đoạn xung quanh điểm treo O, mỗi giai đoạn là \frac{{{{T}_{0}}}}{4}

2 giai đoạn xung quanh điểm treo A, mỗi giai đoạn là \frac{{{{T}_{A}}}}{4}

=> Chu kì T'=2.\frac{{{{T}_{0}}}}{4}+2\frac{{{{T}_{A}}}}{4}

– Giả sử con lắc không bị chặn, con lắc sẽ dao động với điểm treo O nên có chiều dài l và chu kì {{T}_{0}}=2\pi \sqrt{{\frac{l}{g}}}=T

– Giả sử dây treo con lắc bị vướng vào điểm A, lúc này điểm treo sẽ là A, chiều dài của con lắc còn lại chỉ là \frac{l}{2} nên có chu kì {{T}_{A}}=2\pi \sqrt{{\frac{l}{{2g}}}}=\frac{{{{T}_{0}}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{T}{{\sqrt{2}}}

Vậy chu kì sẽ là :

T'=2.\frac{{{{T}_{0}}}}{4}+2\frac{{{{T}_{A}}}}{4}=\frac{1}{2}({{T}_{0}}+{{T}_{A}})=\frac{1}{2}(T+\frac{T}{{\sqrt{2}}})=T(\frac{{\sqrt{2}+1}}{{2\sqrt{2}}})

=> Đáp án B

 

Ví dụ 7:(Năng lượng của con lắc đơn) Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ khối lượng 100 g treo vào đầu sợi dây dài l=50cm, ở một nơi có gia tốc trọng trường g=10m/{{s}^{2}}. Bỏ qua mọi ma sát. Con lắc dao động điều hòa với biên độ góc{{\alpha }_{0}}={{10}^{0}}=0,1745(ra\text{d}) . Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng. Tính thế năng, động năng, vận tốc và lực căng của dây tại:

    a. Vị trí biên.

    b. Vị trí cân bằng.

Hướng dẫn

Vì con lắc đơn dao động với biên độ góc {{\alpha }_{0}}={{10}^{0}} nên:

a. Vị trí biên:

– Thế năng: {{W}_{{tma\text{x}}}}=\text{W}=\frac{1}{2}mg\ell \alpha _{0}^{2}=\frac{1}{2}.0,1.10.0,5.{{\left( {0,1745} \right)}^{2}}=0,0076\left( J \right)

– Động năng: Wđ=0

– Vận tốc: v=0

– Lực căng dây: T=mg\left( {1-\frac{{\alpha _{0}^{2}}}{2}} \right)=0,1.10.\left( {1-\frac{{0,{{{1745}}^{2}}}}{2}} \right)=0,985\left( N \right)

b. Vị trí cân bằng:

– Thế năng: \displaystyle {{\text{W}}_{t}}=0

– Động năng:  \displaystyle {{\text{W}}_{{d\max }}}=\text{W}=0,0076J 

– Vận tốc:  \displaystyle {{\text{W}}_{{d\max }}}=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}=>v=\sqrt{{\frac{{2{{\text{W}}_{{d\max }}}}}{m}}}=\sqrt{{\frac{{2.0,0076}}{{0,1}}}}=0,39(m/s)

– Lực căng dây: T=mg\left( {1+\alpha _{0}^{2}} \right)=0,1.10\left( {1+0,{{{1745}}^{2}}} \right)=1,03\left( N \right)

Chọn t = 0 lúc \alpha =-{{\alpha }_{0}}, khi đó:

    -{{\alpha }_{0}}={{\alpha }_{0}}c\text{os}\varphi \Rightarrow c\text{os}\varphi =-\frac{{{{\alpha }_{0}}}}{{{{\alpha }_{0}}}}=-1\Rightarrow \varphi =\pi

Vậy phương trình dao động của con lắc đơn là: \alpha =0,157c\text{os}\left( {2,5\pi t+\pi } \right) (rad)

Ví dụ 8 (Phương trình dao động của con lắc đơn): Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì 2 s. Lấy g = 10 m/s2 và {{\pi }^{2}}=10. Viết phương trình dao động của con lắc đơn theo li độ dài. Biết rằng tại thời điểm ban đầu vật có li độ góc α = 0,05 rad và vận tốc là -15,7 cm/s.

Hướng dẫn

Phương trình dao động của con lắc đơn theo li độ dài có dạng: \displaystyle \text{s}={{s}_{0}}c\text{os}\left( {\omega t+\varphi } \right)

\omega =\frac{{2\pi }}{T}=\frac{{2\pi }}{2}=\pi \left( {ra\text{d/s}} \right)

Mặt khác:

    {{\omega }^{2}}=\frac{g}{\ell }\Rightarrow \ell =\frac{g}{{{{\omega }^{2}}}}=\frac{{10}}{{{{\pi }^{2}}}}=1\left( m \right)

Từ hệ thức độc lập:

    \displaystyle \text{s}_{0}^{2}={{s}^{2}}+\frac{{{{v}^{2}}}}{{{{\omega }^{2}}}} với s=\alpha \ell =0,05.1=0,05\left( m \right)=5\left( {cm} \right)

    \Rightarrow s_{0}^{2}={{5}^{2}}+\frac{{{{{\left( {-15,7} \right)}}^{2}}}}{{{{\pi }^{2}}}}=25+25=50\Rightarrow {{s}_{0}}=5\sqrt{2}\left( {cm} \right)

Chọn t = 0 lúc s = 5 (cm) và v=-15,7\left( {\text{cm/s}} \right)=5\pi \left( {\text{cm/s}} \right), khi đó:

\left\{ \begin{array}{l}5=5\sqrt{2}c\text{os}\varphi \\-\pi .5\sqrt{2}\sin \varphi =-15,7\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c\text{os}\varphi =\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\\sin \varphi =\frac{{\sqrt{2}}}{2}\end{array} \right.\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{4}

Vậy phương trình dao động của con lắc đơn là: s=5\sqrt{2}c\text{os}\left( {\pi t+\frac{\pi }{4}} \right) (cm)

 

Thống kê thành viên
Tổng thành viên 314.771
Thành viên mới nhất Tram2501
Thành viên VIP mới nhất minh-anhVIP

Mini games


Đăng ký THÀNH VIÊN VIP để hưởng các ưu đãi tuyệt vời ngay hôm nay




Mọi người nói về baitap123.com


Đăng ký THÀNH VIÊN VIP để hưởng các ưu đãi tuyệt vời ngay hôm nay
(Xem QUYỀN LỢI VIP tại đây)

  • BẠN NGUYỄN THU ÁNH
  • Học sinh trường THPT Trần Hưng Đạo - Nam Định
  • Em đã từng học ở nhiều trang web học trực tuyến nhưng em thấy học tại baitap123.com là hiệu quả nhất. Luyện đề thả ga, câu hỏi được phân chia theo từng mức độ nên học rất hiệu quả.
  • BẠN TRẦN BẢO TRÂM
  • Học sinh trường THPT Lê Hồng Phong - Nam Định
  • Baitap123 có nội dung lý thuyết, hình ảnh và hệ thống bài tập phong phú, bám sát nội dung chương trình THPT. Điều đó sẽ giúp được các thầy cô giáo và học sinh có được phương tiện dạy và học thưc sự hữu ích.
  • BẠN NGUYỄN THU HIỀN
  • Học sinh trường THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội
  • Em là học sinh lớp 12 với học lực trung bình nhưng nhờ chăm chỉ học trên baitap123.com mà kiến thức của em được củng cố hơn hẳn. Em rất tự tin với kì thi THPT sắp tới.