Ghi nhớ bài học |

Dạng lượng giác của số phức - Ứng dụng

1. Định nghĩa:

Trong mặt phẳng phức, cho số phức z ≠ 0 được biểu diễn bởi  với M(a ; b).

Góc lượng giác  = φ + k2π, k ∈ Z. Số đo của mỗi góc lượng giác trên được gọi là một acgumen của z.

Gọi φ là một acgumen và r > 0 là môđun của số phức z = a + bi khác 0 thì dạng lượng giác của z là:

z = r(acosφ + isinφ)


Ghi chú:

a) φ là một acgumen của số phức z, các acgumen khác của z là φ + k7π (k ∈ Z).

b) |z| = 1 ⇔ z = cosφ + isinφ, (φ ∈ R).

c) z = 0 thì |z| = r = 0 nhưng acgumen của z không xác định hoặc xem như tuỳ ý.

2. Nhân và chia số phức ở dạng lượng giác

Cho z = r(cosφ + isinφ); z’ = r’(cosφ’+ isinφ’) (r > 0,r’ >0).

 z.z’ = rr’[cos(φ + φ’) + isin(φ + φ’)]



3. Công thức Moa-vrơ và ứng dụng

Công thức: [r(cosφ + isinφ)]n = rn(cosnφ + isinnφ).

Khi r = 1 thì: (cosφ + isinφ)n = cosnφ + isinnφ.

Công thức Moa-vrơ được ứng dụng:

a) Tính cos3x, sin3x theo sinx, cosx.

Ta có (cosx + isinx)3 = cos3x - 3cosxsin2x + i(3cos2xsinx - sin3x).

Mặt khác (cosx + isinx)3 = cos3x + isin3x (theo Moa-vrơ) nên :

cos3x = cos3x - 3cosxsin2x ; sin3x = 3cos2xsinx - sin3x.

b) Căn bậc hai của số phức ở dạng lượng giác.

Số phức z = r(cosφ + isinφ), r > 0 có hai căn bậc hai là:

Ví dụ:

Căn bậc hai của số phức z = 5 + 12i là kết quả nào sau đây?

A. z0 = 3 + 2i, z1 = -3 - 2i                   B. z0 = 3 - 2i, z1 = -3 + 2i 

C. z0 = 2 - 3i, z1 = -2 + 3i                   D. Một kết quả khác.

                                             Giải

Gọi u = x + iy là căn bậc hai của z, ta có:

u2 = z ⇔ (x + iy)2 = 5 + 12i

⇔ x2 - y2 + 2xy = 5 + 12y

Vậy z = 5 + 12i có hai căn bậc hai là z0 = 3 + 2i, z1 = -3 - 2i . Chọn phương án A.

Thống kê thành viên
Tổng thành viên 315.565
Thành viên mới nhất 606999586460620
Thành viên VIP mới nhất khanhzl0209VIP

Mini games


Đăng ký THÀNH VIÊN VIP để hưởng các ưu đãi tuyệt vời ngay hôm nay




Mọi người nói về baitap123.com


Đăng ký THÀNH VIÊN VIP để hưởng các ưu đãi tuyệt vời ngay hôm nay
(Xem QUYỀN LỢI VIP tại đây)

  • BẠN NGUYỄN THU ÁNH
  • Học sinh trường THPT Trần Hưng Đạo - Nam Định
  • Em đã từng học ở nhiều trang web học trực tuyến nhưng em thấy học tại baitap123.com là hiệu quả nhất. Luyện đề thả ga, câu hỏi được phân chia theo từng mức độ nên học rất hiệu quả.
  • BẠN TRẦN BẢO TRÂM
  • Học sinh trường THPT Lê Hồng Phong - Nam Định
  • Baitap123 có nội dung lý thuyết, hình ảnh và hệ thống bài tập phong phú, bám sát nội dung chương trình THPT. Điều đó sẽ giúp được các thầy cô giáo và học sinh có được phương tiện dạy và học thưc sự hữu ích.
  • BẠN NGUYỄN THU HIỀN
  • Học sinh trường THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội
  • Em là học sinh lớp 12 với học lực trung bình nhưng nhờ chăm chỉ học trên baitap123.com mà kiến thức của em được củng cố hơn hẳn. Em rất tự tin với kì thi THPT sắp tới.