Ghi nhớ bài học |

Áp dụng tích phân trong hình học

I - Diện tích hình phẳng

1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số

Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x),

trục hoành và hai đường thẳng có phương trình x = a, x = b được tính bằng công thức:
                     S = |f(x)| dx

Do đó để tính S ta có thể thực hiện :

a) Hoặc xét dấu biểu thức f(x) trên đoạn [a ; b] để khử giá trị tuyệt đối.

b) Hoặc giải phương trình f(x) = 0 và phân biệt:

* Trường hợp f(x) = 0 vô nghiệm trên đoạn [a ; b] tức (C) : y = f(x) không cắt Ox trên đoạn [a ; b].Ta chỉ cần tính:  f(x)dx và khi đó:

                     

* Trường hợp f(x) = 0 có nghiệm trên đoạn [a ; b], giả sử là α, β (α <β), tức (C) : y = f(x) cắt Ox tại hai

điểm có x = α, x = β  trên đoạn [a ; b].

Ta chỉ cần tính một nguyên hàm F(x) của f(x) và khi đó:

                   

2. Trường hợp hình phẳng giới hạn bởi hai đô thị hàm số

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng có phương trình

x= a, x = b được tính bởi công thức:
                     S = |f(x) - g(x)|dx

Do đó để tính S ta có thể thực hiện:

a) Hoặc xét dấu biểu thức [f(x) - g(x)] để khử giá trị tuyệt đối.

b) Hoặc giải phương trình f(x) - g(x) = 0 và phân biệt:

* Trường hợp f(x) - g(x) = 0 vô nghiệm trên [a ; b], tức đồ thị của hai hàm số không cắt nhau trên đoạn
[a ; b]. Ta chỉ cần tính [f(x) - g(x)]dx, khi đó:

                 
* Trường hợp f(x) - g(x) = 0 có nghiệm trên đoạn [a ; b], giả sử là c, d (c < d), tức đồ thị của hai hàm số

y = f(x), y = g(x) cắt nhau tại hai điểm có x = c, x = d trên đoạn [a ; b].

Ta tính một nguyên hàm của f(x) - g(x) là F(x) - G(x) và có:

                
Ghi chú:

* Nếu phải tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đồ thị hàm số trở lên, ta phải vẽ hình và chia hình

phẳng phải tìm diện tích thành nhiều hình phẳng nhỏ được giới hạn bởi hai đường.

* Một số trường hợp tính diện tích hình phẳng, ta có thể chuyển đổi biểu thức hàm số thành x theo y, lấy

tích phân theo biến số y để bài toán được đơn giản hơn.

II- Thể tích vật thể

1. Thể tích của vật thể

Trong không gian Oxy, cho một vật thể B được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x= a,

x = b và có S(x) là diện tích thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ

x ∈ [a ; b], nếu S = S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b] thì thể tích V của vật thể B được tính bằng

công thức:
                        V =  S(x)dx

2. Thể tích khối tròn xoay

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C): y = f(x) (liên tục và không âm trên đoạn [a ; b]), trục hoành và

hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay có thể tích được tính

theo công thức:
                      

Tương tự nếu đồ thị (C): x = g(y) liên tục trên đoạn [c ; d]). Hình phẳng giới hạn bởi (C): x = g(y), trục

tung và hai đường thẳng y = c, y = d, quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay có thể tích V được

tính theo công thức:
                       
Ví dụ:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (P): y = -x2 + 2x - 1, trục Ox và hai đường thẳng x =1, x = 3 là:

A. 3 (đvdt)                B. (đvdt)               C.          D. 

                                                               Giải
Ta có: y = -x2 + 2x - 1 < 0,  ∀x ∈ R. y = x2 - 2x + 1 = 0 có nghiệm duy nhất x = 1, nên diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P), trục Ox và hai  đường thẳng x = 1; x = 3 là:

Chọn phương án C.

Hoặc ta có thể trình bày lời giải như sau: phương trình f(x) = 0 có một nghiệm duy nhất x = 1 ∈ [1 ; 3] nên:



Thống kê thành viên
Tổng thành viên 314.547
Thành viên mới nhất 113905775556028661449
Thành viên VIP mới nhất minh-anhVIP

Mini games


Đăng ký THÀNH VIÊN VIP để hưởng các ưu đãi tuyệt vời ngay hôm nay




Mọi người nói về baitap123.com


Đăng ký THÀNH VIÊN VIP để hưởng các ưu đãi tuyệt vời ngay hôm nay
(Xem QUYỀN LỢI VIP tại đây)

  • BẠN NGUYỄN THU ÁNH
  • Học sinh trường THPT Trần Hưng Đạo - Nam Định
  • Em đã từng học ở nhiều trang web học trực tuyến nhưng em thấy học tại baitap123.com là hiệu quả nhất. Luyện đề thả ga, câu hỏi được phân chia theo từng mức độ nên học rất hiệu quả.
  • BẠN TRẦN BẢO TRÂM
  • Học sinh trường THPT Lê Hồng Phong - Nam Định
  • Baitap123 có nội dung lý thuyết, hình ảnh và hệ thống bài tập phong phú, bám sát nội dung chương trình THPT. Điều đó sẽ giúp được các thầy cô giáo và học sinh có được phương tiện dạy và học thưc sự hữu ích.
  • BẠN NGUYỄN THU HIỀN
  • Học sinh trường THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội
  • Em là học sinh lớp 12 với học lực trung bình nhưng nhờ chăm chỉ học trên baitap123.com mà kiến thức của em được củng cố hơn hẳn. Em rất tự tin với kì thi THPT sắp tới.