Ghi nhớ bài học |

Vi phân - Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao

I. Vi phân

1. Định nghĩa
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x.
Tích {{f}^{'}}(x)\Delta x, kí hiệu df(x) được gọi là vi phân của hàm số f(x) tại điểm x ứng với số gia \Delta x đã cho:
            df(x)={{f}^{'}}(x)\Delta x
Vì        dx={{\left( x \right)}^{'}}\Delta x=\Delta x nên ta có: 
           df(x)={{f}^{'}}(x)dx hay dy={{y}^{'}}dx

2. Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng
Nếu \left| \Delta x \right| khá nhỏ ta có:
       \Delta y\approx {{f}^{'}}({{x}_{0}})\Delta x tức là f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)\approx {{f}^{'}}({{x}_{0}})\Delta x
Suy ra f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)\approx f\left( {{x}_{0}} \right)+{{f}^{'}}({{x}_{0}})\Delta x

II. Đạo hàm cấp cao

1. Định nghĩa
Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm {{f}^{'}}(x). 

+ Đạo hàm cấp một của hàm số f(x){{f}^{\left( 1 \right)}}(x).

+ Nếu hàm số {{f}^{\left( 1 \right)}}(x). có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) và kí hiệu là {{f}^{''}}(x) hay {{f}^{\left( 2 \right)}}(x).

+ Nếu hàm số {{f}^{\left( 2 \right)}}(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số f(x) và kí hiệu {{f}^{'''}}(x) hay {{f}^{\left( 3 \right)}}(x).
Tổng quát:
Đạo hàm cấp n(n\in N,n\ge 2)  của hàm số y=f(x), kí hiệu là {{f}^{\left( n \right)}}(x) hay {{y}^{\left( n \right)}}, là đạo hàm cấp một của hàm số {{f}^{(n-1)}}(x) tức là:{{f}^{\left( n \right)}}(x)={{\left[ {{f}^{\left( n-1 \right)}}(x) \right]}^{'}}.

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Xét một chất điểm chuyển động có phương trình là: S=s(t)
Ta đã biết, vận tốc tại thời điểm {{t}_{0}} của chất điểm đó là:

                  v({{t}_{0}})={{s}^{'}}({{t}_{0}})
Gia tốc tức thời tại thời điểm {{t}_{0}} (hay còn nói: gia tốc tại thời điểm {{t}_{0}}) của một chất điểm chuyển động với phương trình S=s(t) là: 

                  a({{t}_{0}})={{s}^{''}}({{t}_{0}}).

3. Đạo hàm cấp cao

a, Kí hiệu: {{f}^{\left( n \right)}}(x).

b, Đạo hàm cấp cao của một số hàm cơ bản:

1,{{\left( {{a}^{x}} \right)}^{\left( n \right)}}={{a}^{x}}.{{\ln }^{n}}a(1\ne a>0);

\begin{array}{l}2,{{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\left( n \right)}}={{e}^{x}};\\3,{{\left( \sin x \right)}^{\left( n \right)}}=\sin \left( x+\frac{n\pi }{2} \right);\\4,{{\left( cosx \right)}^{\left( n \right)}}=\cos \left( x+\frac{n\pi }{2} \right);\\5,{{\left( {{x}^{m}} \right)}^{\left( n \right)}}=\left[ \begin{array}{l}m.(m-1)...(m-n+1).{{x}^{m-n}},n<m\\0,n>m\end{array} \right.\\6,{{\left( \ln x \right)}^{\left( n \right)}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}n!}{{{x}^{n}}}.\end{array}

 

 

Thống kê thành viên
Tổng thành viên 315.003
Thành viên mới nhất flak0101
Thành viên VIP mới nhất minh-anhVIP

Mini games


Đăng ký THÀNH VIÊN VIP để hưởng các ưu đãi tuyệt vời ngay hôm nay




Mọi người nói về baitap123.com


Đăng ký THÀNH VIÊN VIP để hưởng các ưu đãi tuyệt vời ngay hôm nay
(Xem QUYỀN LỢI VIP tại đây)

  • BẠN NGUYỄN THU ÁNH
  • Học sinh trường THPT Trần Hưng Đạo - Nam Định
  • Em đã từng học ở nhiều trang web học trực tuyến nhưng em thấy học tại baitap123.com là hiệu quả nhất. Luyện đề thả ga, câu hỏi được phân chia theo từng mức độ nên học rất hiệu quả.
  • BẠN TRẦN BẢO TRÂM
  • Học sinh trường THPT Lê Hồng Phong - Nam Định
  • Baitap123 có nội dung lý thuyết, hình ảnh và hệ thống bài tập phong phú, bám sát nội dung chương trình THPT. Điều đó sẽ giúp được các thầy cô giáo và học sinh có được phương tiện dạy và học thưc sự hữu ích.
  • BẠN NGUYỄN THU HIỀN
  • Học sinh trường THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội
  • Em là học sinh lớp 12 với học lực trung bình nhưng nhờ chăm chỉ học trên baitap123.com mà kiến thức của em được củng cố hơn hẳn. Em rất tự tin với kì thi THPT sắp tới.