Ghi nhớ bài học |

Giới hạn của dãy số

I. Dãy số có giới hạn
1. Dãy số có giới hạn 0
Dãy số \left( {{u}_{n}} \right) có giới hạn là 0, kí hiệu \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=0 (hoặc \lim {{u}_{n}}=0hoặc {{u}_{n}}\to 0 khi n\to +\infty ), nếu tất cả các số hạng của dãy kể từ một số hạng nào đó trở đi đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương
tùy ý cho trước.
Ví dụ: \lim \frac{1}{n}=0,\lim \frac{1}{\sqrt{n}}=0,\lim {{q}^{n}}=0\left( \left| q \right|<1 \right).
Định lí: Cho hai dãy số \left( {{u}_{n}} \right),\left( {{v}_{n}} \right).
           Nếu \left| {{u}_{n}} \right|\le {{v}_{n}},\forall n và \lim {{v}_{n}}=0 thì \lim {{u}_{n}}=0.

2. Dãy số có giới hạn

3. Các định lí về dãy số có giới hạn hữu hạn
Định lí 1.
    
Định lí 2: Nếu \lim {{u}_{n}}=L,\lim {{v}_{n}}=M và c là hằng số thì:
    • \lim \left( {{u}_{n}}\pm {{v}_{n}} \right)=L\pm M,\lim \left( {{u}_{n}}.{{v}_{n}} \right)=L.M,\lim \left( c.{{u}_{n}} \right)=c.L.
    
Định lí 3: (Định lí kẹp về giới hạn của dãy số)
Cho ba dãy số \left( {{u}_{n}} \right),\left( {{v}_{n}} \right),\left( {{\text{w}}_{n}} \right) và số thực L.
Nếu {{u}_{n}}\le {{v}_{n}}\le {{\text{w}}_{n}},\forall n và \lim {{u}_{n}}=\lim {{w}_{n}}=L thì \lim {{v}_{n}}=L.

Định lí 4:
a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
b) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn

II. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cho dãy số {{u}_{1}},{{u}_{1}}.q,...,{{u}_{1}}.{{q}^{n-1}},...với công bội q mà \left| q \right|<1 gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Ta có: S=\lim {{S}_{n}}=\lim \left( {{u}_{1}}+{{u}_{1}}.q+...+{{u}_{1}}.{{q}^{n-1}} \right)=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}.
S gọi là tổng của cấp số nhân đã cho. Khi đó ta viết: 
        S={{u}_{1}}+{{u}_{1}}.q+{{u}_{1}}.{{q}^{2}}+...=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}.

Thống kê thành viên
Tổng thành viên 314.772
Thành viên mới nhất thuybui_86
Thành viên VIP mới nhất minh-anhVIP

Mini games


Đăng ký THÀNH VIÊN VIP để hưởng các ưu đãi tuyệt vời ngay hôm nay




Mọi người nói về baitap123.com


Đăng ký THÀNH VIÊN VIP để hưởng các ưu đãi tuyệt vời ngay hôm nay
(Xem QUYỀN LỢI VIP tại đây)

  • BẠN NGUYỄN THU ÁNH
  • Học sinh trường THPT Trần Hưng Đạo - Nam Định
  • Em đã từng học ở nhiều trang web học trực tuyến nhưng em thấy học tại baitap123.com là hiệu quả nhất. Luyện đề thả ga, câu hỏi được phân chia theo từng mức độ nên học rất hiệu quả.
  • BẠN TRẦN BẢO TRÂM
  • Học sinh trường THPT Lê Hồng Phong - Nam Định
  • Baitap123 có nội dung lý thuyết, hình ảnh và hệ thống bài tập phong phú, bám sát nội dung chương trình THPT. Điều đó sẽ giúp được các thầy cô giáo và học sinh có được phương tiện dạy và học thưc sự hữu ích.
  • BẠN NGUYỄN THU HIỀN
  • Học sinh trường THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội
  • Em là học sinh lớp 12 với học lực trung bình nhưng nhờ chăm chỉ học trên baitap123.com mà kiến thức của em được củng cố hơn hẳn. Em rất tự tin với kì thi THPT sắp tới.