Ghi nhớ bài học |

Tích vô hướng của hai vectơ - Phần II

                     CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

DẠNG I. Tính các biểu thức lượng giác của góc từ {{0}^{0}} đến {{180}^{0}}
Phương pháp giải:  Dùng định nghĩa, các công thức đã học, góc bù nhau, phụ nhau.

Ví dụ: Tính A=\sin {{90}^{0}}-\tan {{120}^{0}}+\tan {{135}^{0}}+{{\cot }^{2}}{{150}^{0}}
                           Giải

\begin{array}{l}A=\sin {{90}^{0}}-\tan {{120}^{0}}-\tan {{135}^{0}}+{{\cot }^{2}}{{150}^{0}}\\=1-\frac{1}{2}-1+{{\left( -\sqrt{3} \right)}^{2}}=\frac{5}{2}.\end{array}

DẠNG II. Tính tích vô hướng của hai vectơ
Phương pháp giải 
Tuỳ theo đề bài, có thể dùng:
• Định nghĩa, dùng biểu thức toạ độ của tích vô hướng.
• Công thức hình chiếu.
• Có thể sử dụng tính chất của tích vô hướng để đưa về tổng, hiệu của nhữngtích vô hướng đơn giản.
Cần lưu ý vài trường hợp đặc biệt:
\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0<=>\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}.
• Trường hợp A, B , C thẳng hàng :
+ Nếu A ở ngoài đoạn BC thì \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.
+ Nếu A ở giữa B và C thì \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-AB.AC.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8, \widehat{BAC}={{120}^{0}}. Tính \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}?
                                         Giải
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cos\widehat{BAC}=5.8.cos{{120}^{0}}=-20.
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}\left( \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right)=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-{{\overrightarrow{AB}}^{2}}=-20-25=-45.

DẠNG III. Chứng minh một đẳng thức về tích vô hướng hay đẳng thức về độ dài.
Phương pháp giải:  
• Dùng định nghĩa, các tính chất về tích vô hướng như dạng II.
• Đưa bình phương độ dài về bình phương vectơ :

      A{{B}^{2}}={{\overrightarrow{AB}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA} \right)}^{2}}

Ví dụ: Cho tam giác ABC có các trung tuyến AM, BN, CP. Chứng minh:
          \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CP}.\overrightarrow{AB}=0
                                    Giải
Ta có

             \begin{array}{l}\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right).\left( \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right)=\frac{1}{2}\left( A{{C}^{2}}-A{{B}^{2}} \right)(1)\\\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{CA}=\frac{1}{2}\left( B{{A}^{2}}-B{{C}^{2}} \right)(2)\\\overrightarrow{CP}.\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\left( C{{B}^{2}}-C{{A}^{2}} \right)(3)\end{array}
Cộng (1), (2), (3) và thu gọn ta có:
              \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CP}.\overrightarrow{AB}=0

 

DẠNG IV. Chứng minh hai đường thẳng hay hai vectơ vuông góc.
Phương pháp giải 
• Sử dụng: \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0<=>\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}.

Ví dụ: Cho hình thang vuông ABCD. Đường cao AB và hai cạnh đáyAD, BC có độ dài lần lượt là h, a, b. Tìm điều kiện giữa a, b, h để AC và BD vuông góc với nhau.
                                             Giải
\begin{array}{l}AC\bot BD<=>\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0<=>\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right)\left( \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB} \right)=0\\<=>\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}-A{{B}^{2}}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=0\end{array}
Mà AB\bot AD,AB\bot BC nên: \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=0
Vậy AC\bot BD<=>\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}-A{{B}^{2}}=0<=>ab-{{h}^{2}}=0<=>{{h}^{2}}=ab.

 

 

DẠNG V. Tìm tập hợp điểm
Phương pháp giải 
Các dạng cơ bản:
1. \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=k.
• k=0 : Tập hợp điểm là đường tròn đường kính AB.
k\ne 0 : Gọi I là trung điểm của AB.
            \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=k<=>M{{I}^{2}}=k+\frac{A{{B}^{2}}}{4}
Tập hợp điểm là đường tròn tâm I, bán kính R=\sqrt{k+\frac{A{{B}^{2}}}{4}} nếu k+\frac{A{{B}^{2}}}{4}>0.

Chú ý: Khi k+\frac{A{{B}^{2}}}{4}<0: Tập hợp các điểm M là tâp Ø.
2\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=k.
k=0 : Tập hợp điểm M là đường thẳng qua A và vuông góc BC.
k\ne 0 : Gọi {{A}^{'}} ; H lần lượt là hình chiếu của A, M lên đường thẳng BC.Tập hợp phải tìm là đường thẳng vuông góc với BC tại H cho bởi hệ thức: \overrightarrow{{{A}^{'}}H}.\overrightarrow{BC}=k.

 

Thống kê thành viên
Tổng thành viên 314.509
Thành viên mới nhất HaLamMin
Thành viên VIP mới nhất minh-anhVIP

Mini games


Đăng ký THÀNH VIÊN VIP để hưởng các ưu đãi tuyệt vời ngay hôm nay




Mọi người nói về baitap123.com


Đăng ký THÀNH VIÊN VIP để hưởng các ưu đãi tuyệt vời ngay hôm nay
(Xem QUYỀN LỢI VIP tại đây)

  • BẠN NGUYỄN THU ÁNH
  • Học sinh trường THPT Trần Hưng Đạo - Nam Định
  • Em đã từng học ở nhiều trang web học trực tuyến nhưng em thấy học tại baitap123.com là hiệu quả nhất. Luyện đề thả ga, câu hỏi được phân chia theo từng mức độ nên học rất hiệu quả.
  • BẠN TRẦN BẢO TRÂM
  • Học sinh trường THPT Lê Hồng Phong - Nam Định
  • Baitap123 có nội dung lý thuyết, hình ảnh và hệ thống bài tập phong phú, bám sát nội dung chương trình THPT. Điều đó sẽ giúp được các thầy cô giáo và học sinh có được phương tiện dạy và học thưc sự hữu ích.
  • BẠN NGUYỄN THU HIỀN
  • Học sinh trường THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội
  • Em là học sinh lớp 12 với học lực trung bình nhưng nhờ chăm chỉ học trên baitap123.com mà kiến thức của em được củng cố hơn hẳn. Em rất tự tin với kì thi THPT sắp tới.