Ghi nhớ bài học |

Tích vô hướng của hai vectơ - Phần I

I. Giá trị lượng giác của một góc bất kì (từ {{0}^{0}} đến {{180}^{0}})
1. Định nghĩa
Với mỗi góc α ({{0}^{0}}\le a\le {{180}^{0}}), ta xác định được điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \widehat{MOx}=a. Gọi \left( x;y \right) là toạ độ của M. Khi đó, ta định nghĩa:

\begin{array}{l}\sin a=y\\\cos a=x\\\tan a=\frac{y}{x}\left( x\ne 0 \right)\\\cot a=\frac{x}{y}\left( y\ne 0 \right)\end{array}    


Các số sinα, cosα, tanα, cotα gọi là các giá trị lượng giác của góc α.
Suy ra:
\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}
• \cot a=\frac{\cos a}{\sin a}. 

2. Hai góc bù nhau khi tổng số đo của chúng bằng {{180}^{0}}
Góc bù của góc α là góc {{180}^{0}} - α. Ta có:
        sin({{180}^{0}} - α) = sinα
        cos({{180}^{0}} - α) = -cosα
        tan({{180}^{0}} - α) = -tanα
        cot({{180}^{0}} - α) = -cotα

3. Hai góc phụ nhau khi chúng có số đo lần lượt là α và {{90}^{0}} - α.
        sin({{90}^{0}} - α) = cosα
        cos({{90}^{0}} - α) = sinα
        tan({{90}^{0}} - α) = cotα
        cot({{90}^{0}} - α) = tanα

4. Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

Góc {{0}^{0}} {{30}^{0}} {{45}^{0}} {{60}^{0}} {{90}^{0}} {{120}^{0}} {{135}^{0}} {{150}^{0}} {{180}^{0}}
sin 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1 \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} 0
cos 1 \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} 0 -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} -1
tan 0 \frac{1}{\sqrt{3}} 1 \sqrt{3} || -\sqrt{3} -1 -\frac{1}{\sqrt{3}} 0
cot || \sqrt{3} 1 \frac{1}{\sqrt{3}} 0 -\frac{1}{\sqrt{3}} -1 -\sqrt{3} ||

5. Góc giữa hai vectơ
• Cho hai vectơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} đều khác vectơ không, từ một điểm O vẽ các vectơ
 \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b} thi số đo của góc \widehat{AOB} được gọi là số đo của góc
giữa hai vectơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} hoặc đơn giản là góc giữa hai vectơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}.
\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)={{90}^{0}}<=>\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}.
• Nếu \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0} (hoặc \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}) thì \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) là một góc tuỳ ý.

II. Tích vô hướng của hai vectơ
1. Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ
              \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right).

2. Bình phương vô hướng
\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a} được kí hiệu: {{\overrightarrow{a}}^{2}} và được gọi là bình phương vô hướng của \overrightarrow{a}.
{{\overrightarrow{a}}^{2}}=\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{a} \right|.cos{{0}^{0}}=>{{\overrightarrow{a}}^{2}}={{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}

3. Tính chất của tích vô hướng
Với ba vectơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} tuỳ ý và số thực k bất kì, ta có :
• \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a} (tính giao hoán)
•  \left( k\overrightarrow{a} \right).\overrightarrow{b}=k\left( \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right)
• \overrightarrow{a}.\left( \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} (tính phân phối đối với phép cộng).
\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0<=>\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}.

Kết quả:
a)
              \begin{array}{l}{{\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)}^{2}}={{\overrightarrow{a}}^{2}}+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{{\overrightarrow{b}}^{2}};\\{{\left( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right)}^{2}}={{\overrightarrow{a}}^{2}}-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{{\overrightarrow{b}}^{2}};\\\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)\left( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right)={{\overrightarrow{a}}^{2}}-{{\overrightarrow{b}}^{2}}.\end{array}

b) Độ dài của vectơ và góc giữa hai vectơ :
Cho \overrightarrow{a}=\left( {{a}_{1}};{{a}_{2}} \right),\overrightarrow{b}\left( {{b}_{1}};{{b}_{2}} \right). Ta có :
\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}={{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}(biểu thức toạ độ của tích vô hướng).
• \left| \overrightarrow{a} \right|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}
\left\{ \begin{array}{l}A({{x}_{A}};{{y}_{A}})\\B({{x}_{B}};{{y}_{B}})\end{array} \right.=>AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}}
• \cos \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|}=\frac{{{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}.\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}
• \overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}<=>{{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}=0.

4. Công thức hình chiếu
Cho hai vectơ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}. Gọi {{B}^{'}} là hình chiếu của B trên đường thẳng OB. 
Công thức hình chiếu:  \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{O{{B}^{'}}} .

Thống kê thành viên
Tổng thành viên 315.258
Thành viên mới nhất 146853829788870
Thành viên VIP mới nhất minh-anhVIP

Mini games


Đăng ký THÀNH VIÊN VIP để hưởng các ưu đãi tuyệt vời ngay hôm nay




Mọi người nói về baitap123.com


Đăng ký THÀNH VIÊN VIP để hưởng các ưu đãi tuyệt vời ngay hôm nay
(Xem QUYỀN LỢI VIP tại đây)

  • BẠN NGUYỄN THU ÁNH
  • Học sinh trường THPT Trần Hưng Đạo - Nam Định
  • Em đã từng học ở nhiều trang web học trực tuyến nhưng em thấy học tại baitap123.com là hiệu quả nhất. Luyện đề thả ga, câu hỏi được phân chia theo từng mức độ nên học rất hiệu quả.
  • BẠN TRẦN BẢO TRÂM
  • Học sinh trường THPT Lê Hồng Phong - Nam Định
  • Baitap123 có nội dung lý thuyết, hình ảnh và hệ thống bài tập phong phú, bám sát nội dung chương trình THPT. Điều đó sẽ giúp được các thầy cô giáo và học sinh có được phương tiện dạy và học thưc sự hữu ích.
  • BẠN NGUYỄN THU HIỀN
  • Học sinh trường THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội
  • Em là học sinh lớp 12 với học lực trung bình nhưng nhờ chăm chỉ học trên baitap123.com mà kiến thức của em được củng cố hơn hẳn. Em rất tự tin với kì thi THPT sắp tới.