b", "a < b", "a ≥ b", "a ≤ b", với a và b là hai số thực, được gọi là những bất đẳng thức. • Chứng minh một bất đẳng thức là chứng..."/> b", "a < b", "a ≥ b", "a ≤ b", với a và b là hai số thực, được gọi là những bất đẳng thức. • Chứng minh một bất đẳng thức là chứng..."/>

Ghi nhớ bài học |

Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức

I. Bất đẳng thức
1. Định nghĩa

   Các mệnh đề dạng "a > b", "a < b", "a ≥ b", "a ≤ b", với a và b là hai số thực, được gọi là những bất đẳng thức.
2. Chứng minh bất đẳng thức

   Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.

II. Tính chất của bất đẳng thức

(1) Bắc cầu \left\{ \begin{array}{l}a>b\\b>c\end{array} \right.=>a>c
(2) Cộng hai vế với cùng một số a>b<=>a+c>b+c
(3) Nhân hai vế với cùng một số - Nếu c>0 thì a>b<=>ac>bc
- Nếu c<0 thì a>b<=>ac<bc
(4) Cộng hai vế của những bất đẳng thức
cùng chiều (hệ quả của (1) và (2))
\left\{ \begin{array}{l}a>b\\c>d\end{array} \right.=>a+c>b+d
(5) Chuyển vế (hệ quả của (2)) a+c>b<=>a>b-c
(6) Nhân hai vế của những bất đẳng thức
cùng chiều (hệ quả của (1))
\left\{ \begin{array}{l}a>b\ge 0\\c>d\ge 0\end{array} \right.=>ac>bd
(7) Nâng hai vế không âm của một bất đẳng
thức lên cùng một luỹ thừa nguyên dương
\left\{ \begin{array}{l}a>b\ge 0\\n\in {{N}^{*}}\end{array} \right.=>{{a}^{n}}>{{b}^{n}}
(8) Khai căn hai vế của một bất đẳng thức + a>b>0<=>\sqrt{a}>\sqrt{b}
+ a>b<=>\sqrt[3]{a}>\sqrt[3]{b}

III. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

\begin{array}{l}1.-\left| a \right|\le a\le \left| a \right|\left( a\in R \right);\\2.\left| x \right|<a<=>-a<x<a\left( a>0 \right);\\3.\left| x \right|>a<=>\left[ \begin{array}{l}x>a\\x<-a\end{array} \right.\left( a>0 \right);\\4.\left| a \right|-\left| b \right|\le \left| a+b \right|\le \left| a \right|+\left| b \right|\left( a,b\in R \right).\end{array}

IV. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số không âm (bất đẳng thức Cô-si)
1. Bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm

                      \forall a>0,b>0:\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Hệ quả: Với a, b là hai số dương thay đổi, ta có:
i) Nếu tổng a + b không đổi thì tích ab lớn nhất ⇔ a = b
ii) Nếu tích ab không đổi thì tổng a + b nhỏ nhất ⇔ a = b.

2. Bất đẳng thức Cô-si cho 3 số không âm

                      \forall a>0,b>0,c>0:\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}
Đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

V. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki

1. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki với 4 số thực khác 0

                      \forall a,b,c,d\in R:{{\left( ab+cd \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}+{{d}^{2}} \right)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ad=bc

2. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki với 6 số thực khác 0

                      \forall a,b,c,d,e,f\in R:{{\left( ab+cd+ef \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}}+{{e}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}+{{d}^{2}}+{{f}^{2}} \right)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}.

 

Thống kê thành viên
Tổng thành viên 314.496
Thành viên mới nhất vhson2905
Thành viên VIP mới nhất minh-anhVIP

Mini games


Đăng ký THÀNH VIÊN VIP để hưởng các ưu đãi tuyệt vời ngay hôm nay




Mọi người nói về baitap123.com


Đăng ký THÀNH VIÊN VIP để hưởng các ưu đãi tuyệt vời ngay hôm nay
(Xem QUYỀN LỢI VIP tại đây)

  • BẠN NGUYỄN THU ÁNH
  • Học sinh trường THPT Trần Hưng Đạo - Nam Định
  • Em đã từng học ở nhiều trang web học trực tuyến nhưng em thấy học tại baitap123.com là hiệu quả nhất. Luyện đề thả ga, câu hỏi được phân chia theo từng mức độ nên học rất hiệu quả.
  • BẠN TRẦN BẢO TRÂM
  • Học sinh trường THPT Lê Hồng Phong - Nam Định
  • Baitap123 có nội dung lý thuyết, hình ảnh và hệ thống bài tập phong phú, bám sát nội dung chương trình THPT. Điều đó sẽ giúp được các thầy cô giáo và học sinh có được phương tiện dạy và học thưc sự hữu ích.
  • BẠN NGUYỄN THU HIỀN
  • Học sinh trường THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội
  • Em là học sinh lớp 12 với học lực trung bình nhưng nhờ chăm chỉ học trên baitap123.com mà kiến thức của em được củng cố hơn hẳn. Em rất tự tin với kì thi THPT sắp tới.