Bài tập toán học ôn luyện theo Level

ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VEVTO   A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1. Định nghĩa         · Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là .     · Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.     · Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu .     · Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu .     · Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.     · Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.     · Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. Chú ý:      + Ta còn sử dụng kí hiệu  để biểu diễn vectơ.      + Qui ước: Vectơ  cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.      + Mọi vectơ  đều bằng nhau. 2. Các phép toán a. Tổng của hai vectơ     · Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: .     · Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: .     · Tính chất: ;              ;           b. Hiệu của hai vectơ     · Vectơ đối của  là vectơ  sao cho . Kí hiệu vectơ đối của  là .     · Vectơ đối của  là .     · . Chú ý: + Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB <=>  + Điểm G là trọng tâm tam giác ABC <=>  c. Tích của vecto với một số · Cho vectơ  và số k ∈ R.  là một vectơ được xác định như sau:         +  cùng hướng với  nếu k ≠ 0,  ngược hướng với  nếu k < 0.         + .     · Tính chất:            ;           ;                  <=> k = 0 hoặc .     · Điều kiện để hai vectơ cùng phương:  và   cùng phương .     · Điều kiện ba điểm thẳng hàng:    A, B, C thẳng hàng <=> ∃k ≠ 0: .     · Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương  và  tuỳ ý. Khi đó ∃! m, n ∈ R: .     Chú ý:     · Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:         M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì              +                 +   (O tuỳ ý).     · Hệ thức trọng tâm tam giác:         G là trọng tâm của tam giác ABC  thì:               +               +  (O tuỳ ý). B – BÀI TẬP Dạng 1: Xác một vectơ, sự cùng phương cùng hướng Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ là  Ví dụ 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đó. Hướng dẫn giải: Có 10 cặp điểm khác nhau {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E}, {D,E}. Do đó có 20 vectơ khác  Ví dụ 2: Cho điểm A và vectơ  khác . Tìm điểm M sao cho  cùng phương  Hướng dẫn giải: Gọi D là giá của  Nếu  cùng phương  thì đường thẳng AM// D Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và // D Ngược lại, mọi điểm M thuôc m thì  cùng phương  Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau Ta có thể dùng một trong các cách sau: + Sử dụng định nghĩa:  + Sử dụng tính chất của các hình. Nếu ABCD là hình bình hành thì                              ,… (hoặc viết ngược lại) + Nếu  Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:  Hướng dẫn giải: Cách 1: EF là đường trung bình của D ABC nên EF//CD, EF=BC=CD <=> EF=CD <=>  (1)  cùng hướng  (2) Từ (1),(2) suy ra   Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành     EF=BC=CD và EF//CD <=> EFDC là hình bình hành <=>     Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN. Chứng minh:  Hướng dẫn giải: Ta có MC//AN và MC=AN <=> MACN là hình bình hành <=>  Tương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung điểm của MD <=> =. Tứ giá IMKN là hình bình hành, suy ra = <=>  Dạng 3: Các phép toán vecto Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. a) Tìm tổng  b) Chứng minh :  Hướng dẫn giải: a) + Vì  nên ta có                 = == + Vì  nên ta có                 = == + Vì  nên ta có                = =, E là đỉnh của hình bình hành AMED. b) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ta có  Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên  Vậy  Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM=AB. Tìm k trong các đẳng thức sau: Hướng dẫn giải: a) , vì Þ k= b) k= –        c) k= – Dạng 3: Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương Ví dụ 1: Cho D ABC có trọng âtm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt . Hãy phân tích các vectơ  theo hai vectơ . Giải: Ta có                 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ  theo hai vectơ . Hướng dẫn giải:     Ta có      mà      <=>  Dạng 4: Chứng minh đẳng thức vecto Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: . Hướng dẫn giải: Áp dụng qui tắc hình bình hành ta có  <=> VT=(đpcm) Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì . Hướng dẫn giải:

Thống kê thành viên
Tổng thành viên 323.961
Thành viên mới nhất phamthicamly
Thành viên VIP mới nhất Thanhduy1010VIP

Mini games


Đăng ký THÀNH VIÊN VIP để hưởng các ưu đãi tuyệt vời ngay hôm nay




Mọi người nói về baitap123.com


Đăng ký THÀNH VIÊN VIP để hưởng các ưu đãi tuyệt vời ngay hôm nay
(Xem QUYỀN LỢI VIP tại đây)

  • BẠN NGUYỄN THU ÁNH
  • Học sinh trường THPT Trần Hưng Đạo - Nam Định
  • Em đã từng học ở nhiều trang web học trực tuyến nhưng em thấy học tại baitap123.com là hiệu quả nhất. Luyện đề thả ga, câu hỏi được phân chia theo từng mức độ nên học rất hiệu quả.
  • BẠN TRẦN BẢO TRÂM
  • Học sinh trường THPT Lê Hồng Phong - Nam Định
  • Baitap123 có nội dung lý thuyết, hình ảnh và hệ thống bài tập phong phú, bám sát nội dung chương trình THPT. Điều đó sẽ giúp được các thầy cô giáo và học sinh có được phương tiện dạy và học thưc sự hữu ích.
  • BẠN NGUYỄN THU HIỀN
  • Học sinh trường THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội
  • Em là học sinh lớp 12 với học lực trung bình nhưng nhờ chăm chỉ học trên baitap123.com mà kiến thức của em được củng cố hơn hẳn. Em rất tự tin với kì thi THPT sắp tới.