Tọa độ trong không gian

1. Thuật ngữ, tính chất và kí hiệu cần nhớ

• Hệ trục Oxyz với các vectơ trên các trục Ox, Oy, 0z theo thứ tự là .

• 

•  . = . =   = 0

• Trong không gian nếu có hệ trục toạ độ Oxyz thì được gọi là không gian toạ độ Oxyz hay (O;  )

• Ox : trục hoành; Oy : trục tung ; Oz : trục cao.

• Các mặt phẳng toạ độ: (Oxy) ; (Oyz); (Oxz).

2. Toạ độ của một điểm

• M(x ; y ; z) ⇔  = x.  + y. + z..

• Ý nghĩa hình học : Nếu I, J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy, Oz thì:



• M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0 ; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0 và M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0.

• M ∈ Ox ⇔  M(x ; 0 ; 0); M ∈ Oy ⇔  M(0 ; y ; 0) và M ∈ 0z ⇔  M(0 ; 0 ; z). Gốc toạ độ là O(0 ; 0 ; 0).

• Toạ độ một số điểm thường dùng:

- Trung điểm của đoạn AB:

- Trọng tâm tam giác ABC:

- Trọng tâm tứ diện ABCD:

3. Toạ độ của vectơ và các tính chất của toạ độ vectơ.

∗ Định nghĩa: Trong không gian toạ độ Oxyz cho vectơ . Tồn tại duy nhất bộ số thực (x ; y ; z) sao cho  = x. + y. + z., (x ; y ; z) được gọi là toạ độ của . Kí hiệu :  = (x ; y ; z) hay  (x ; y ; z).

∗ Tính chất

Cho các vectơ  =(x1 ;y1 ; z1) và  = (x2; y2; z2); k là một số thực tùy ý. Ta có các tính chất sau:

• 

•   ±  = (x1 ± x2 ; y1 ± y2 ; z1 ± z2)

•  k = (kx1; ky1; kz1)

•   .  = (x1.x2 ; y1.y2 ; z1.z2)

• 

∗ Liên hệ giữa tọa độ vectơ và tọa độ các điểm mút

 

4. Tích có hướng của hai vectơ

∗ Định nghĩa: Cho các vectơ  =(x1 ;y1 ; z1) và  = (x2; y2; z2). Tích có hướng (còn gọi là tích vectơ) của  và , được kí hiệu , là một vectơ được xác định bởi:

∗ Tính chất

∗ Ý nghĩa hình học

Nếu là hai vectơ không cùng phương, từ một điểm O tùy ý vẽ các vectơ   =  và  = , ta có  vuông góc với mp(OAB) và  là diện tích hình bình hành có hai cạnh là OA và OB.

 Diện tích tam giác

Diện tích tam giác ABC:

5. Ứng dụng để tính thể tích hình hộp và tứ diện

∗ Thể tích hình hộp

∗ Thể tích tứ diện

Tứ diện A’ABD có thể tích bằng  thể tích lăng trụ ABD.A’B’D’ nên bằng  thể tích hình hộp.



6. Phương trình mặt cầu trong không gian

• Phương trình mặt cầu tâm I(xI; yI; zI) bán kính R:

(x - xI)2 + (y - yI)2 + (z - zI)2 = R2.             (1)

• Phương trình tổng quát của mặt cầu:

x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0.    (2)

(2) là phương trình mặt cầu có tâm I(-a ; -b ; -c) và bán kính 

• Điều kiện cần và đủ để (2) là phương trình mặt cầu là: a2 + b2 + c2 - d > 0.

• Mặt cầu tâm O bán kính R có phương trình là: x2 + y2 + z2 = R2.

• Chú ý:

- Để viết phương trình mặt cầu, ta thường xác định tâm và tính bán kính mặt cầu rồi dùng dạng (1).

- Để viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, ta thường dùng dạng tổng quát (dạng (2)) để đưa về giải hệ phương trình bậc nhất với các ẩn là a, b, c, d.

Thống kê thành viên

Tổng thành viên 87.174
Thành viên mới nhất tienthanhhouse