Mặt cầu, hình cầu và khối cầu

1. Mặt cầu tâm O, bán kính R

Định nghĩa 1: Mặt cầu tâm O bán kính R là tập hợp những điểm M trong không gian mà OM = R, hay

Định nghĩa 2 : Hình tròn xoay sinh bởi nửa đường tròn đường kính CD khi quay xung quanh đường thẳng CD là mặt cầu tâm là trung điểm O của CD, bán kính .

- Nếu OM = R thì M thuộc mặt cầu (S). Khi đó OM là bán kính của mặt cầu.

- Nếu OA > R thì A ở ngoài mặt cầu, nếu OB < R thì B ở trong mặt cầu.

- Nếu OI, OJ là hai bán kính mà I, 0, J thẳng hàng thì IJ được gọi là một đường kính của (S).

- Tính chất:

+ Mỗi điểm nằm trên mặt cầu đều nhìn một đường kính không đi qua nó dưới một góc vuông.

+ Tập hợp những điểm M nhìn đoạn IJ cho trước dưới một góc 90° là mặt cầu đường kính IJ.

• Khối cầu hay hình cầu S(O ; R) là tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O ; R) cùng với tất cả các điểm nằm

trong mặt cầu. Như vậy hình cầu S(O ; R) được định nghĩa là: 

2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng

Giữa mặt cầu S(O ; R) và mặt phẳng (P) có ba vị trí tương đối phụ thuộc vào khoảng cách từ O đến (P) và bán kính R.

• d(O ; (P)) < R : (P) cắt mặt cầu S(O ; R) theo một đường tròn (T) mà tâm I của (T) là hình chiếu vuông góc của O lên (P). Bán kính của (T) là r, cho bởi:



Đường tròn (T) có bán kính lớn nhất khi và chỉ khi d(O ; (P)) = 0, khi đó (P) đi qua O và (T) được gọi là đường tròn lớn của mặt cầu.

• d(O ; (P)) = R : (P) tiếp xúc với S(O ; R) tại một điểm I, I là hình chiếu vuông góc của O lên (P). Trong trường hợp này, (P) được gọi là một tiếp diện của mặt cầu, I là tiếp điếm của (P) và S(O ; R).

• d(O; (P)) > R: (P) không cắt S(O ; R).

3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Giữa mặt cầu S(O ; R) và đường thẳng Δ có ba vị trí tương đối phụ thuộc vào d(O ; Δ) và bán kính R.

• d(O ; Δ) < R : Δ cắt mặt cầu tại hai điểm A, B. Khi đó hình chiếu vuông góc của O lên AB là trung điểm của đoạn AB.

• d(O ; Δ) = R : Δ tiếp xúc mặt cầu tại một điểm A duy nhất. A được gọi là tiếp điểm của Δ với mặt cầu và Δ là tiếp tuyến với mặt cầu tại A. Ngoài ra, OA vuông góc với Δ. Đường thẳng Δ tiếp xúc mặt cầu (S) tại A khi và chỉ khi Δ vuông góc với OA tại A.

• d(O ; Δ) > R : Δ không cắt mặt cầu.

4. Định lí

Nếu A là điểm nằm ngoài mặt cầu S(O ; R) thì từ A có vô số tiếp tuyến đến mặt cầu. Khi đó

• Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.

• Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.

5. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

• Diện tích mặt cầu S(O ; R) : S = 4πR2.

• Thể tích khối cầu S(O ; R) : V =  πR3.

6. Các khái niệm nội tiếp và ngoại tiếp thường gặp

• Khối đa diện nội tiếp trong mặt cầu:

- Khối đa diện được gọi là nội tiếp trong mặt cầu nếu các đỉnh của khối đa diện này đều nằm trên mặt
cầu. Khi đó, mặt cầu còn được gọi là ngoại tiếp khối đa diện.

- Tâm của mặt cầu ngoại tiếp một khối đa diện là điểm cách đều các đỉnh của khối đa diện đó.

- Tồn tại mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp khi và chỉ khi đáy hình chóp là một đa giác nội tiếp được.

• Mặt cầu nội tiếp một tứ diện:

- Mặt cầu được gọi là nội tiếp tứ diện nếu tâm mặt cầu ở trong tứ diện và các mặt của tứ diện đều là tiếp diện của mặt cầu.

- Khoảng cách từ tâm mặt câu nội tiếp tứ diện đến mỗi mặt của tứ diện đều bằng bán kính mặt cầu.

- Tính chất: Mỗi tứ diện đều có mặt cầu nội tiếp và mặt cầu ngoại tiếp.

7. Trục của đường tròn, trục của tam giác

• Tập hợp những điểm cách đều các đỉnh của một tam giác là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường thẳng này gọi là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác hay trục của tam giác.

Tổng quát: Tập hợp các điểm cách đều các điểm của một đường tròn là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của đường tròn đó. Đường thẳng này được gọi là trục của đường tròn.

• Trục của đường tròn thường được sử đụng trong các bài toán về xác định tâm và bán kính của một mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

 

Ví dụ:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6, BC = 8. Tìm tập hợp những điểm M trong không gian mà

MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 200.

                                                          Giải
Gọi O là tâm hình chữ nhật. Ta có : AC = BD = 10. Trong các tam giác MAC và MBD, ta có

MA2 + MC2 = 2MO2 +         (1)

MB2 + MD2 = 2MO2 +        (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta có MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 4MO2 + (AC2 + BD2) = 4MO2 + 100.

Vậy : MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 200 ⇔  4MO2 = 100 ⇔ MO2 = 25 ⇔ MO = 5.

Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 200 là mặt cầu tâm O bán kính R = 5.

Thống kê thành viên

Tổng thành viên 88.760
Thành viên mới nhất dao-quang-anh