Dạng lượng giác của số phức - Ứng dụng

1. Định nghĩa:

Trong mặt phẳng phức, cho số phức z ≠ 0 được biểu diễn bởi  với M(a ; b).

Góc lượng giác  = φ + k2π, k ∈ Z. Số đo của mỗi góc lượng giác trên được gọi là một acgumen của z.

Gọi φ là một acgumen và r > 0 là môđun của số phức z = a + bi khác 0 thì dạng lượng giác của z là:

z = r(acosφ + isinφ)


Ghi chú:

a) φ là một acgumen của số phức z, các acgumen khác của z là φ + k7π (k ∈ Z).

b) |z| = 1 ⇔ z = cosφ + isinφ, (φ ∈ R).

c) z = 0 thì |z| = r = 0 nhưng acgumen của z không xác định hoặc xem như tuỳ ý.

2. Nhân và chia số phức ở dạng lượng giác

Cho z = r(cosφ + isinφ); z’ = r’(cosφ’+ isinφ’) (r > 0,r’ >0).

 z.z’ = rr’[cos(φ + φ’) + isin(φ + φ’)]



3. Công thức Moa-vrơ và ứng dụng

Công thức: [r(cosφ + isinφ)]n = rn(cosnφ + isinnφ).

Khi r = 1 thì: (cosφ + isinφ)n = cosnφ + isinnφ.

Công thức Moa-vrơ được ứng dụng:

a) Tính cos3x, sin3x theo sinx, cosx.

Ta có (cosx + isinx)3 = cos3x - 3cosxsin2x + i(3cos2xsinx - sin3x).

Mặt khác (cosx + isinx)3 = cos3x + isin3x (theo Moa-vrơ) nên :

cos3x = cos3x - 3cosxsin2x ; sin3x = 3cos2xsinx - sin3x.

b) Căn bậc hai của số phức ở dạng lượng giác.

Số phức z = r(cosφ + isinφ), r > 0 có hai căn bậc hai là:

Ví dụ:

Căn bậc hai của số phức z = 5 + 12i là kết quả nào sau đây?

A. z0 = 3 + 2i, z1 = -3 - 2i                   B. z0 = 3 - 2i, z1 = -3 + 2i 

C. z0 = 2 - 3i, z1 = -2 + 3i                   D. Một kết quả khác.

                                             Giải

Gọi u = x + iy là căn bậc hai của z, ta có:

u2 = z ⇔ (x + iy)2 = 5 + 12i

⇔ x2 - y2 + 2xy = 5 + 12y

Vậy z = 5 + 12i có hai căn bậc hai là z0 = 3 + 2i, z1 = -3 - 2i . Chọn phương án A.

Thống kê thành viên

Tổng thành viên 86.080
Thành viên mới nhất nguyen-thanh-dung