Định nghĩa và phép toán về số phức

I - Định nghĩa

- Số phức z có dạng z = a + bi với a, b là số thực và i là đơn vị ảo (i2 = -1).

- a là phần thực, b là phần ảo, C là tập hợp số phức và R ⊂ C.

- Biểu diễn hình học: Trong mpOxy, mỗi điểm M(a ; b) hay vectơ  = (a ; b) biểu diễn số phức z = a + bi,

khi đó Ox là trục thực, Oy là trục ảo và (Oxy) là mặt phẳng phức.

- Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Khi đó 

II - Phép toán về số phức

Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i.

1. Phép cộng : z + z’ = a + a’ + (b + b’)i

Tính chất:

z + z’ = z’ + z, ∀z, z' ∈ C (tính chất giao hoán)

(z + z’) + z” = z + (z’ + z”), ∀z', Z'' ∈ C (tính chất kết hợp)

z + 0 = 0 + z, ∀z ∈ C

-z = -a - bi là số phức đối của z = a + bi và z + (-z) = (-z) + z = 0.

2. Phép trừ : z - z’ = z + (- z’) = a - a’ + (b - b’)i

Phép cộng và phép trừ hai số phức có thể biểu diễn hình học bằng phép cộng và phép trừ vectơ trong

mặt phẳng phức.

3. Phép nhân : z.z’ = aa’ - bb’ + (ab’ + a’b)i

Tính chất:

z.z’ = z’.z, ∀z, z' ∈ C (tính chất giao hoán)

(z.z’)z” = z(z’.z”), ∀z, z', z'' ∈ C (tính chất kết hợp)

1.z = z.1 = z, ∀z ∈ C

z(z’ + z”) = z.z’ + z.z”, ∀z, z', z'' ∈ C (tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng)

k(a + bi) = ka + kbi (∀k  ∈ R).

Ghi chú:

a) Từ định nghĩa, trong việc cộng - trừ - nhân các số phức thì ngoài việc nhớ công thức, chúng ta có thể

cộng - trừ - nhân như trong số thực với lưu ý i2= -1.

b) i3 = -i ; i4 = 1 ; i4k = 1 ; i4k+1 = i ; i4k+2 = -1, i4k+3 = -i (k ∈ Z)

c) Số phức liên hợp :

z = a + bi và  = a - bi là hai số phức liên hợp với nhau và ta có:

 

d) Môđun của số phức :

Môđun của số phức z = a + bi là trong mặt phẳng phức với M(a ; b).

Ta có z = 0 ⇔ |z| = 0.

4. Phép chia:

- Số phức nghịch đảo của số phức z khác 0 là: 

- Với z ≠ 0 thì 

Vậy trong thực hành để tìm  ta có thể chỉ cần nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của z.

5. Căn bậc hai của một số phức:

Căn bậc hai của số phức w là số z thoả z2 = w hay z là một nghiệm của phương trình z2 - w = 0. Do đó:

- w = 0 có đúng một căn bậc hai là z = 0.

- w là số thực dương a, có hai căn bậc hai đối nhau là 

- w là số thực âm a, có hai căn bậc hai đối nhau là .

- Trường hợp tổng quát, w = a + bi (w ≠ 0) sẽ có đúng hai căn bậc hai đối nhau dạng x + yi mà x, y là

nghiệm của hệ: 

Áp dụng.

Giải một phương trình bậc hai Ax2 + Bx + c = 0 trong tập số phức cũng giống quy tắc tìm nghiệm trong tập

số thực, nhưng phương trình luôn có nghiệm là:

 (nếu Δ ≥ 0) hoặc  (nếu Δ < 0).

Ví dụ:

Trong việc xác định phần thực và phần ảo của số phức z = a + ib sau đây, khẳng định sự đúng, sai của

các kết quả.

(A) (1 + 3i) + (4 - 2i) có a = 5, b = -1 ;

(B) i - (3 + 2i) có a = -3, b = -1 ;

(C) (3 + 2i)(1 - i) có a = 3, b = -3 ;

(D) ( - 2i)2 có a = -1, b = -4 .

                                                     Giải

(1 + 3i) + (4 - 2i) = 5 + i có a = 5, b = 1 . Vậy (A) sai.

i - (3 + 2i) = -3 - i có a = -3, b = -1. Vậy (B) đúng.

(3 + 2i)(1 - i) = 3 - 3i + 2i - 2i2 = 5 - i có a = 5, b = -1. Vậy (C) sai.

 ( - 2i)2 = 3 - 4i + 4i2 = -1 - 4i có a = -1, b = -4 . Vậy D đúng.

Thống kê thành viên

Tổng thành viên 86.806
Thành viên mới nhất huy-nguyen