Tích phân

Với các bài toán về tích phân ta lưu ý:

Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a ; b] thì F(b) - F(a)

được gọi là tích phân từ a đến b của f(x) hay còn gọi là tích phân xác định của f(x) trên đoạn [a ; b], 

Kí hiệu : f(x)dx. 

Do đó : f(x)dx = F(x) = F(b) - F(a).
Nếu F(x) là tổng của nhiều số hạng, ta có thể dùng kí hiệu [F(x)]ba thay cho F(x).

Ghi chú:
1. Quy ước : f(x)dx = 0, f(x)dx = - f(x)dx.

2. f(x)dx = f(t)dt = f(u)du.
3. Nếu f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a ; b] thì f(x)dx chính là diện tích S của hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị (C ): y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng có phương trình x = a, x = b.

* Tính chất : Cho f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a ; b]. Khi đó:

                    [f(x) ± g(x)]dx = f(x)dx ± g(x)dx 

                     kf(x) = kf(x)dx
                      f(x)dx+ f(x)dx=  f(x)dx.

* Phương pháp tính tích phân
- Để tính f(x)dx , theo định nghĩa ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) theo các phương pháp đã nêu và áp dụng :

                 f(x)dx = F(b) - F(a).

Ngoài ra có thể thực hiện bằng phương pháp đổi biến số và tính tích phân từng phần như sau:

1. Phương pháp đổi biến số: Có hai cách đổi biến số:

a) Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử hằm số x = φ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α; β] sao

cho φ(α) = a, φ(β) = b và a ≤ φ(t) ≤ b, ∀t ∈ [α ; β]. Khi đó:
f(x)dx = f[φ(t)]φ’(t)dt là dạng mà tính được trực tiếp.

b) Nếu ta biến đổi được f(x) thành dạng f(x) = g[u(x)].u’(x) với mọi x thuộc đoạn [a ; b] thì u(x) có đạo

hàm u’(x) liên tục, u(x) ∈ [α ; β] và g(u) liên tục trên đoạn [α ; β], ta được :
f(x)dx= g[u(x)]u’(x)dx= g(u)du.

2. Phương pháp tính tích phân từng phần

Cho u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a ; b] là u’(x), v’(x). Ta có: 
                   udv = uv - vdu.
Ví dụ:

Tính  ta được kết quả là:
(A)0            (B)             (C) 1                  (D)      

                                            Giải
Ta có một nguyên hàm của f(x) = cos2x là nên

 Chọn (B).


Thống kê thành viên

Tổng thành viên 85.936
Thành viên mới nhất hao-kelvin