Điểm uốn và tâm đối xứng của đồ thị hàm số

1. Để tìm điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) ta thực hiện:

. Tính đạo hàm f'(x) (liên tục trên khoảng (a ; b)).

. Tính đạo hàm cấp hai f'’(x) và áp dụng:

f'’(x) đổi dấu khi x qua x0 ∈ (a ; b) thì I(x0 ; f(x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x).

(Tại điểm uốn, f'’(x0) triệt tiêu hoặc không xác định nhưng f'(x0) phải xác định).

2. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số:

. Đồ thị (C) : y = f(x) nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng nếu có điều kiện:

f(-x) = -f(x), ∀x ∈ D (f là hàm số lẻ).

. Trường hợp (C) : y = f(x) nhận điểm I(x0 ; y0) làm tâm đối xứng thì ta phải dời hệ trục toạ độ cũ xOy về

hệ trục toạ độ mới XIY bằng phép tịnh tiến theo vectơ , để chứng tỏ biểu thức của hàm số trong hệ trục

toạ độ mới là hàm số lẻ tức nhận gốc I làm tâm đối xứng.

Công thức đổi trục bằng phép tịnh tiến theo vectơ  (x0 ; y0):

Ghi chú:

Với các bài toán về điểm uốn, ta có thể gặp những yêu cầu sau đây mà học sinh cằn nắm vững phương pháp giải để giải quyết nhanh các câu hỏi trắc nghiệm.

1. Chứng minh ba điểm uốn thẳng hàng:

a) Hoặc tìm toạ độ ba điểm uốn A, B, C sau đó chứng tỏ  cùng phương với .

b) Trường hợp không tính được toạ độ ba điểm uốn, ta có cách giải như sau:

- Áp dụng tính chất f”(x) liên tục và đổi dấu ba lần để chứng tỏ f’'(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt bằng cách chỉ ra các giá trị a, b, c, d (a < b < c < d) với f(a).f(b) < 0, f(b).f(c) < 0, f(c).f(d) < 0.

- Toạ độ ba điểm uốn phải thoả hệ:


Dùng phương pháp thay thế ta suy ra toạ độ ba điểm uốn sẽ cùng thoả phương trình một đường thẳng.

2. Đối với yêu cầu xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số, ta lưu ý:

- Đồ thị hàm số bậc ba có tâm đối xứng là điểm uốn của đồ thị.
tu- - + 6 ax2+bx + c

- Đồ thi các hàm số  có tâm đối xứng là giao điềm của hai đường tiệm cận.

Ngoài ra với các hàm số khác nếu có tâm dối xứng, ta có thể biến đổi biểu thức y = f(x) và đặt ẩn phụ sao cho có dạng Y = F(X) là một biểu thức hàm sô lẻ.

Ví dụ 1.

Cho hàm số  

a) Xác định toạ độ điểm I là giao của hai đường tiệm cận của (H).

b) Viết công thức đổi hệ trục toạ độ bằng phép tịnh tiến theo .

c) Viết phương trình của (H) đối với hệ trục mới XIY và suy ra I là tâm đối xứng của (H).

                                                       Giải
a,  
Suy ra phương trình hai đường tiệm cận của (H) là : x = 1 ; y = 2x - 3. Do đó giao điểm hai đường tiệm cận là I(1 ; -1).

b) Dời hệ trục cũ xOy đến hệ trục mới XIY bằng phép tịnh tiến theo  = (1 ; -1), ta có công thức đổi trục :

c) Thay  vào phương trình của (H) ta được:


là phương trình của (H) trong hệ trục mới XIY, biểu thức trên cũng là biểu thức hàm số lẻ của Y theo X nên gốc toạ độ I là tâm đối xứng của đồ thị (H).

Thống kê thành viên

Tổng thành viên 87.553
Thành viên mới nhất Thuyyhienn