Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa:

♦ Để chứng minh M là giá trị lớn nhất của hàm số f trên tập xác định D, ta cần chứng tỏ :
a) f(x) ≤ M, x ∈ D ;
b) ∃x0 ∈ D để f(x0) = M.

♦ Để chứng minh m là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên tập xác định D, ta cần chứng tỏ :
a) f(x) ≥ m, x ∈ D ;
b) ∃x0 ∈ D để f(x0) = m.

2.  Phương pháp tổng quát

để xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên tập xác định D

là lập bảng biến thiên của hàm số f với đầy đủ các giá trị đặc biệt của y, từ đó ta sẽ suy ra được:

max f(x) ; min f(x).
D  D

Ghi chú:

1. f(x) là biểu thức lượng giác.

- Ta biến đổi để trong biểu thức chỉ còn chứa y = sin(ax + b) hay y = cos(ax + b)

và áp dụng : -1 ≤ sin( ax + b)≤ 1, x ∈ R

                     -1 ≤ cos( ax + b)≤ 1, x ∈ R

Trường hợp f(x) chứa sin(ax + b), cos(ax + b) và ta biến đổi được về dạng: Asin(ax + b) + Bcos(ax + b) = C thì áp dụng điều kiện phương trình có nghiệm : A2 + B2 ≥ C2.

2. Trường hợp y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b], ta tiến hành các bước:

- Tìm các giá trị của x sao cho f'(x) = 0 hay f'(x) không xác định trên đoạn [a ; b], giả sử các giá trị đó là x1, x2, x3.....

- Tính các giá trị của hàm số tại các điểm có giá trị x nói trên là f(x1), f(x2), f(x3),.........

- Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút là f(a), f(b).

- So sánh các giá trị f(a), f(b), f(x1), f(x2), f(x3), ta suy ra giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của f(x) trên đoạn
[a ; b]

3. Nếu trong miền D có f(x) → +∞ thì hàm số không có giá trị lớn nhất trong D. Nếu trong miền D có f(x) → -∞ thì hàm số khônq có giá trị nhỏ nhất trong D.

4. Nếu hàm số f liên tục và đạt cực trị duy nhất trong khoảng (a ; b) tại x0 thì:

max f(x) = f(x0) nếu cực trị trên là cực đại ;
(a ; b)
min f(x) = f(x0) nếu cực trị trên là cực tiểu.
(a ; b)

Ví dụ 1. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x3 - 3x2 - 9x + 1 trên đoạn [- 2 ; 4] lần lượt là
(A) -1 ; -19 ;                   (B) 6 ; -26 ;
(C) 4 ; -19 ;                    (D)10;-26.

                                                   Giải
Hàm số liên tục trên đoạn [-2 ; 4] và có đạo hàm y’ = 3x2 - 6x - 9.

 
Giá trị của hàm số tại hai đầu mút: f(-2) = -1 ; f(4) = -19
So sánh các giá trị vừa tính được của hàm số, ta suy ra

max f(x) = 6;
[-2 ; 4]
min f(x) = -26
[-2 ; 4]

Chọn phương án (B)

Thống kê thành viên

Tổng thành viên 85.866
Thành viên mới nhất nguyen-quynh