Cực trị của hàm số

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT VỀ CỰC TRÍ CỦA HÀM SỐ

1. Định nghĩa: 

♦ Tìm cực trị của hàm số, tức tìm cực đại và cực tiểu của hàm số đó, ta cần hiểu rõ các định nghĩa:

Cho hàm số f xác định trên D ∈ R và x0 ∈ D.

a) x0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a ; b) chứa x0 để (a ; b) ⊂ D và f(x) < f'(x0),

x ∈ (a ; b)\{x0}. Khi đó f(x0) là giá trị cực đại của hàm số f.

b) x0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a ; b) chứa x0 để (a ; b) ⊂ D và f(x) > f'(x0),

x ∈ (a ; b)\{x0}. Khi đó f(x0) là giá trị cực tiểu của hàm số f.

2. Để xác định điểm cực trị của hàm số y = f(x) liên tục trên D ta tiến hành :

- Tìm tập xác định D của hàm số đó.

- Tính và xét dấu đạo hàm f'(x) :

+ Nếu f'(x) đổi dấu từ + sang - khi x qua x0 ∈ D thì f đạt cực đại tại x0

+ Nếu f'(x) đổi dấu từ - sang + khi x qua x0 ∈ D thì f đạt cực tiểu tại x0

Hoặc :

+ Tính f'(x) và f''(x).

+ Giải f'(x) = 0 để tìm các nghiệm xi (i = 1,2 ...) và tìm dấu của f''(x¡).

+ Nếu f''(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi.

+ Nếu f''(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi.

Ghi chú:

3. Một sô chú ý:  Với các bài toán về cực trị, một số kiến thức ta cần lưu ý để có thể thích ứng nhanh với yêu cầu của một số câu hỏi trắc nghiệm :

1. Hàm đa thức y = P(x) đạt cực trị tại các nghiệm đơn của P’(x) = 0.

2. Hàm số   có cưc đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.

3. Hàm số  đạt cực trị tại x0 thì giá trị của hàm số tại điểm cực trị x0 là  với P’(x0) và Q’(x0) lần lượt là đạo hàm của P(x) và Q(x) tại x0.

4. Tìm phương trình đường đi qua các điểm cực trị :
a) Trường hợp hàm số hữu tỉ  đường thẳng đi qua hai điểm cực trị (nếu có) có phương trình là 

b) Với hàm đa thức y = f(x), để tìm phương trình đường đi qua các điểm cực trị (có toạ độ phức tạp) ta chia đa thức f(x) cho f'(x) :
y = f(x) = f'(x) Q(x) + R(x) thì tại điểm cực trị M0(x0 ; y0) ta có:
y0 = f'x0)Q(x0) + R(x0) = R(x0) (d0 f'(x0) = 0).
Vậy y = R(x) là phương trình đường nối các điểm cực trị của hàm số y = f(x).

Ví dụ: 

Chứng tỏ hàm số  luôn có một cực đại và cực tiểu.

                                                     Giải

Hàm số có tập xác định D = R và đạo hàm:

Dấu của y' là dấu của g(x) = -2x2 + 2(1 - m)x + 2 có

Δ' = (1 - m)2 + 4 > 0, m ∈ R

nên g(x) luôn có hai lần đổi dấu từ + sang - và từ - sang + hay f(x) luôn có một cực đại và một cực tiểu.

Thống kê thành viên

Tổng thành viên 87.171
Thành viên mới nhất phan-nhi