Vi phân - Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao

I. Vi phân

1. Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x.
Tích f'(x)Δx, kí hiệu df(x) được gọi là vi phân của hàm số f(x) tại điểm x ứng với số gia Δx đã cho:
            df(x) = f'(x)Δx
Vì         dx = (x)’Δx = Δx nên ta có:
           df(x) = f'(x)dx hay dy = y’dx.

2. Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng
Nếu l Δx l khá nhỏ ta có:
       Δy ≈ f'(x0)Δx tức là f(x0 + Δx) - f(x0) ≈ f'(x0)Δx
Suy ra f(x0 + Δx) ≈ f(x0) + f'(x0)Δx

II. Đạo hàm cấp hai

1. Định nghĩa
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x). Hàm số f(x) còn được gọi là đạo hàm cấp một của hàm số f(x) và kí hiệu là f(1)(x). nếu hàm số f(1)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) và kí hiệu là f''(x) hay f(2)(x). nếu hàm số f(2)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số f(x) và kí hiệu f'''(x) hay f(3)(x).
Một cách tổng quát:
Đạo hàm cấp n (n ∈ N, n ≥ 2) của hàm số y = (x), kí hiệu là f(n)(x) hay y(n), là đạo hàm cấp một của hàm số f(n-1)(x) tức là: f(n)(x) = [f(n-1)x]’

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Xét một chất điểm chuyển động có phương trình là: s = s(t)
Ta đã biết, vận tốc tại thời điểm t0 của chất điểm đó là:

                   v(t0) = s'(t0)
Gia tốc tức thời tại thời điểm t0 (hay còn nói: gia tốc tại thời điểm t0) của một chất điểm chuyển động với phương trình s = s(t) là: 

                  (t0) = s''(t0)

3. Đạo hàm cấp cao

Kí hiệu: fn(x)

 

 

Thống kê thành viên

Tổng thành viên 85.866
Thành viên mới nhất nguyen-quynh