Phương pháp qui nạp toán học - Dãy số

I. Phương pháp qui nạp toán học
Bài toán: Gọi A(n) là một mệnh đề chứa biến n, n ∈ N*. Chứng minh A(n) đúng với mọi số tự nhiên n ∈ N*.
Cách giải: (Người ta thường sử dụng phương pháp sau đây)
• Bước 1: Chứng minh A(n) đúng khi n = 1. (*)
• Bước 2: Với k là số nguyên dương tùy ý, xuất phát từ giả thiết A(n) đúng với n = k, chứng minh A(n) cũng là mệnh đề đúng khi n = k + 1.
Phương pháp chứng minh như vậy gọi là phương pháp quy nạp toán học (hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp). Bước 1 gọi là bước cơ sở (hay bước khởi đầu), bước 2 gọi là bước quy nạp (còn gọi là bước “di truyền”). Giả thiết được nói ở bước 2 gọi là giả thiết quy nạp.
Chú ý: (*): trong thực tế, ta còn gặp các bài toán yêu cầu chứng minh mệnh đề A(n) (nói trên) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p, trong đó p là số tự nhiên cho trước. Trong trường hợp đó, thay cho chứng minh A(n) đúng khi n = 1, ta chứng minh A(n) đúng khi n = p.

II. Dãy số

1. Định nghĩa : Dãy số (un) là một ánh xạ từ N* vào R:
                f: N* → R
Khi đó, ta có un = f(n).

Kí hiệu (un) hay ở dạng khai triển là u1, u2, ... , un, ...

2. Cách xác định một dãy số

Một dãy số thường được xác định bằng một trong các cách:
Cách 1: Dãy số xác định bởi một công thức cho số hạng tổng quát un.
Cách 2: Dãy số xác định bởi một công thức truy hồi, tức là:
• Trước tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu)
• Cho công thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.
Cách 3: Dãy số xác định bởi một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó.

3. Dãy số đơn điệu
Định nghĩa 1:
    (Dãy số tăng): Dãy số (un) được gọi là tăng nếu ∀n ∈ N*, un < un + 1.
Định nghĩa 2:
   (Dãy số giảm): Dãy số (un) được gọi là giảm nếu ∀n ∈ N*, un > un + 1

4. Dãy số bị chặn
Định nghĩa 3:
   (Dãy số bị chặn trên): Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu: ∃M ∈ R : un ≤ M, ∀n ∈ N*
Định nghĩa 4 :
   (Dãy số bị chặn dưới): Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu: ∃m ∈ R : un ≥ m, ∀n ∈ N*
Định nghĩa 5:
   (Dãy số bị chặn): Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là:
            ∃m, M ∈ R : m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N*

Thống kê thành viên

Tổng thành viên 86.083
Thành viên mới nhất humxam2x1